Conjectures en géométrie algébrique

Bonjour
Récemment Hironaka a publié un papier qui prétend prouver la résolution des singularités en caractéristique $p$ et toute dimension. Est-ce que quelqu'un a plus d'informations dessus ? J'ai demandé à un spécialiste de géométrie birationnelle en caractéristique positive, qui n'a pas voulu me répondre mais avait l'air très sceptique ...

Aussi est-ce qu'on connaît une liste plus ou moins précise des variétés pour lesquelles la conjecture de Hodge est connue à ce jour ? Bien sûr, c'est OK pour les courbes et les surfaces avec le théorème (1,1) de Lefschetz. Aussi pour les variétés avec une stratification affine ça marche, par exemple les variétés de drapeaux généralisées. Il me semble aussi que pour certaines variétés abéliennes ça marche.

N'hésitez pas à rajouter d'autres informations sur les conjectures en géométrie algébrique en générale ! :-)