Bonjour
Dans le plan euclidien, on se donne une hyperbole $H$ de centre $O$.
Déterminer toutes les coniques de centre $O$ orthogonales à $H$ en leurs quatre points d'intersection.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonjour
L'orthogonalité, c'est l'extase!
Les coniques euclidiennes et leur bien aimée classification, que dire de plus magnifique?
Mais l'orthogonalité et les coniques?
Serait-ce un nouveau cauchemar épouvantable?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Tout d'abord, on peut remarquer que toute ellipse ayant les mêmes foyers $F,F^{\prime }$ que l'hyperbole convient puisqu'elle coupe l'hyperbole en $4$ points et qu'en chacun de ces points $M$ les tangentes à l'une et à l'autre sont les $2$ bissectrices de $\left( MF,MF^{\prime }\right) $.
Une suggestion pour le reste (sans garantir du tout que ce soit le plus simple) :
si $H$ et la conique $\Gamma $ ont pour équation $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-1=0$ et $px^{2}+qxy+ry^{2}-1=0$,
l'orthogonalité des $2$ gradients donne la condition $b^{2}px^{2}+\dfrac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) qxy-a^{2}ry^{2}=0$ qui doit être l'équation d'une conique dégénérée du faisceau engendré par $H$ et $\Gamma $.
Outre les solutions déjà signalées, cela donne $p=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}\left( a^{2}+b^{2}\right) },r=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{b^{2}\left( a^{2}+b^{2}\right) }$, que je laisse à nos amis le soin d'interpréter.
Merci Poulbot
Je devine que tu dois partir en vacances!
Alors profites en bien, tu les as bien méritées.
Reviens nous en pleine forme!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Réponses
L'orthogonalité, c'est l'extase!
Les coniques euclidiennes et leur bien aimée classification, que dire de plus magnifique?
Mais l'orthogonalité et les coniques?
Serait-ce un nouveau cauchemar épouvantable?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Tout d'abord, on peut remarquer que toute ellipse ayant les mêmes foyers $F,F^{\prime }$ que l'hyperbole convient puisqu'elle coupe l'hyperbole en $4$ points et qu'en chacun de ces points $M$ les tangentes à l'une et à l'autre sont les $2$ bissectrices de $\left( MF,MF^{\prime }\right) $.
Une suggestion pour le reste (sans garantir du tout que ce soit le plus simple) :
si $H$ et la conique $\Gamma $ ont pour équation $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-1=0$ et $px^{2}+qxy+ry^{2}-1=0$,
l'orthogonalité des $2$ gradients donne la condition $b^{2}px^{2}+\dfrac{1}{2}\left( b^{2}-a^{2}\right) qxy-a^{2}ry^{2}=0$ qui doit être l'équation d'une conique dégénérée du faisceau engendré par $H$ et $\Gamma $.
Outre les solutions déjà signalées, cela donne $p=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}\left( a^{2}+b^{2}\right) },r=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{b^{2}\left( a^{2}+b^{2}\right) }$, que je laisse à nos amis le soin d'interpréter.
Amicalement. Poulbot
Je devine que tu dois partir en vacances!
Alors profites en bien, tu les as bien méritées.
Reviens nous en pleine forme!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Amicalement. Poulbot