Surface réglée

Bogdanov98 · July 2018

Bonjour
J'ai un peu de mal concernant certains exercices de géométrie différentielle.
C'est lorsque l'on me demande de montrer qu'une surface (donnée en équation cartésienne) est une surface réglée et de déterminer sa directrice et sa génératrice.
J'ai bien compris la définition de surface réglée avec des exemples sur le cylindre etc.

Par exemple, un exercice me demande de montrer que le paraboloïde $z=xy$ est une surface réglée et de déterminer la directrice et la génératrice.
Dans cet exemple, j'arrive à peu près à m'en sortir en bricolant puisque l'énoncé précise qu'il s'agit d'un paraboloïde, donc l'intuition géométrique m'aide.

Cependant, dans certains exercices, les équations cartésiennes sont beaucoup plus compliquées et je ne vois pas forcément quelle allure possède la surface et je ne vois pas comment montrer que c'est une surface réglée.
Par exemple: $yz+xz+xy+2y+1=0$
C'est pourquoi je viens vous demander s'il existe une méthode générale lorsque l'on possède une équation cartésienne pour d'une part prouver qu'il s'agit d'une surface réglée et d'autre part d'en déterminer la génératrice et la directrice?

Cordialement.

pappus · July 2018

Mon cher Bogdanov98
En ce qui concerne les quadriques affines, la méthode à suivre est simple, il suffit de se référer à leur sacro-sainte classification, la seule chose qui nous reste aujourd'hui de la théorie des quadriques.
C'est le moment ou jamais de s'en servir!
Amicalement
[small]p[/small]appus

GaBuZoMeu · July 2018

Appelle Gauss au secours :
$$\begin{aligned}
yz+xz+xy+2y+1&= (x+z+2)(y+z) -z^2-2z+1\\
&= (x+z+2)(y+z) -(z+1)^2 +2
\end{aligned}$$

pappus · July 2018

Bonjour
Pour le paraboloïde hyperbolique d'équation $z=xy\ $, les deux systèmes de génératrices sont sous les yeux, nul besoin d'intuition géométrique!:
1° $d_{\lambda}$: $x=\lambda$ et $z=\lambda y$
2° $d'_{\mu}$: $y=\mu$ et $z=\mu x$
On ne peut pas vraiment dire que ce soit de la géométrie différentielle!
Amicalement
[small]p[/small]appus

pappus · July 2018

Bonsoir
Dans l'exemple traité par GaBuZoMeu, (la classification affine des quadriques est justement obtenue par la méthode de Gauss), $$\begin{aligned}
yz+xz+xy+2y+1&= (x+z+2)(y+z) -z^2-2z+1\\
&= (x+z+2)(y+z) -(z+1)^2 +2
\end{aligned}$$ on obtient:
$$(x+z+2)(y+z)=(z+1+\sqrt2)(z+1-\sqrt 2)$$
Les deux systèmes de génératrices s'en suivent:
1° $d_{\lambda}$: $x+z+2 =\lambda(z+1+\sqrt 2)$ et $\lambda(y+z)=z+1-\sqrt 2 $
2° $d'_{\mu}$: $x+z+2 =\mu(z+1-\sqrt 2)$ et $\mu(y+z)=z+1+\sqrt 2 $
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bogdanov98 · July 2018

Bonsoir,

Je vous remercie tous pour votre aide. Effectivement le dernier message de pappus m'a beaucoup aidé et m'a donc convaincu que la réduction de Gauss permet d'obtenir la directrice et la génératrice assez facilement.

Merci à vous deux,
Cordialement.

Surface réglée

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