Construire un Kiss

soland · July 2018

Sir Soddy, Nobel de 1921, appelait Kiss precise la configuration
que les Français nomment Les cercles de Descartes.

Donné : trois points sur un cercle (à gauche).
A construire : les trois cercles tangents extérieurement deux à deux
et tangents intérieurement au cercle donné en les points donnés (à droite). 77790

cuvedepr · July 2018

Bonjour

installer Geogebra pour la pièce jointe

en fait j'avais fait ça pour le sangaku 4 de Pappus c'est avec quatre cercles mais le principe est le même que pour trois cercles

cuvedepr · July 2018

...image de ma pièce jointe de mon fichier(j'ai trouvé un hébergeur d'image qui accepte sans contraintes)

il s'agit d'inverser les points (en division harmonique) d'une droite
Edit pas le point à l'extrême droite : la flèche à l'extrême droite est donc une coquille , j'avais mis ce point pour autre chose

le curseur alpha fait varier la taille d'un minimum en 0 et d'un maximum en 1 de deux cercles opposés (et inversement des deux autres )

pappus · July 2018

Bonjour
Personnellement je ferais une inversion par rapport à un des trois points de contact et je regarderais comment se transforme la figure.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
The Kiss Precise
Four circles to the kissing come
The smaller are the benter
The bend is just the inverse of
The distance from the centre
Though their intrigue left Euclid dumb
There's now no need for rule of thumb
Since zero bend's a dead straight line
And concave bends have minus sign,
The sum of the squares of all four bends
Is half the square of their sum. 77796

pappus · July 2018

Bonjour
C'est la relation de Descartes, datant de Novembre 1643, à laquelle Sir Frederick Soddy, Nobel Chimie 1921, fait allusion dans son poème, The Kiss Precise ~1936, quand il la redémontra.
Mais c'est en fait, un géomètre amateur anglais, Philip Beecroft, qui la redécouvrit en 1842 et la redémontra au moyen de la géométrie du triangle la plus triviale, voir par exemple le livre de Coxeter: Introduction to Geometry, publié chez Wiley en 1961, page 15.
Pourrait-on retrouver directement la relation de Descartes au moyen de l'inversion que j'ai utilisée pour cette construction?
Amicalement
[small]p[/small]appus

soland · July 2018

J'avais appliqué la méthode décrite par pappus.
Celle de cuvedepr est jolie aussi.
Les deux utilisent, c'est sans surprise, une inversion.

soland · July 2018

Deux figures archétypiques.

A gauche un Kiss sur une boule de pétanque.
A droite deux Kiss duaux sur la même boule.

Tout Kiss plan s'obtient par inversion relativement à un point choisi librement sur la boule.
La première boule donne un Kiss ordinaire. La seconde en donne deux,
chaque cercle de l'un étant orthogonal à trois cercles de l'autre. 77800