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Aires

Envoyé par Rescassol 
Aires
il y a quatre mois
Bonjour,

Je suis désolé, mais je ne retrouve plus le fil où j'ai vu ce problème.
$ABCD$ est un quadrilatère convexe et chacun de ses côtés est coupé en $5$ segments égaux.
Alors, l'aire de $ABCD$ est égale à $25$ fois l'aire de $UVWX$.

syms a b c d aB bB cB dB

f=a+2*(b-a)/5;
g=a+3*(b-a)/5;

j=b+2*(c-b)/5;
k=b+3*(c-b)/5;

n=c+2*(d-c)/5;
o=c+3*(d-c)/5;

r=d+2*(a-d)/5;
s=d+3*(a-d)/5;

fB=aB+2*(bB-aB)/5;
gB=aB+3*(bB-aB)/5;

jB=bB+2*(cB-bB)/5;
kB=bB+3*(cB-bB)/5;

nB=cB+2*(dB-cB)/5;
oB=cB+3*(dB-cB)/5;

rB=dB+2*(aB-dB)/5;
sB=dB+3*(aB-dB)/5;

[pfo qfo rfo]=DroiteDeuxPoints(f,o,fB,oB);  % Droite (FO)
[pgn qgn rgn]=DroiteDeuxPoints(g,n,gB,nB);  % Droite (GN)
[pjs qjs rjs]=DroiteDeuxPoints(j,s,jB,sB);  % Droite (JS)
[pkr qkr rkr]=DroiteDeuxPoints(k,r,kB,rB);  % Droite (KR)

[u uB]=IntersectionDeuxDroites(pfo,qfo,rfo,pjs,qjs,rjs);
[v vB]=IntersectionDeuxDroites(pgn,qgn,rgn,pjs,qjs,rjs);
[w wB]=IntersectionDeuxDroites(pgn,qgn,rgn,pkr,qkr,rkr);
[x xB]=IntersectionDeuxDroites(pfo,qfo,rfo,pkr,qkr,rkr);

pol1=Aire(a,b,c,aB,bB,cB)+Aire(a,c,d,aB,cB,dB);
pol2=Aire(u,v,w,uB,vB,wB)+Aire(u,w,x,uB,wB,xB);

Nul=Factor(pol1-25*pol2) % Égal à 0, donc c'est gagné

Cordialement,

Rescassol



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Rescassol.


Re: Aires
il y a quatre mois
Bonsoir Rescassol
J'ai le sentiment diffus d'avoir traité ici même le cas $n=3$ mais je n'ai pu retrouver ce fil.
Voici ma propre figure dont la tienne est la conséquence.
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par jacquot.


Re: Aires
il y a quatre mois
Moi aussi je connaissais ce problème pour un partage en 3. On peut généraliser comme l'indique la figure, avec $0<\lambda<\frac 12$.
Un calcul barycentrique conduit à : $\overline{MNPQ}=((1-\lambda )^{2}-\lambda ^{2})^{2}\overline{ABCD}$,
où $\overline{ABCD}$ est la notation de Papelier pour désigner l'aire orientée du quadrilatère $ABCD$.
Si l'on partage les côtés du quadrilatère, $ABCD$ en $2n+1$ petits segments égaux, ceci revient à appliquer
cette formule avec $\lambda =\frac{n}{2n+1}$, qui donnera : $\overline{MNPQ}=\frac{1}{(2n+1)^{2}}\overline{ABCD}$.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - lambda-medianes.pdf (155.2 KB)
Re: Aires
il y a quatre mois
Explication.
$\bullet $ Sur la figure, on utilise la convention usuelle du calcul barycentrique : on note $A$ le vecteur $\overrightarrow{OA}$, où $O$ est une origine arbitraire. Ainsi, on écrit par exemple : $R=(1-\lambda )A+\lambda B$ pour exprimer que l'on a : $\overrightarrow{OR}=(1-\lambda )\overrightarrow{OA}+\lambda \overrightarrow{OB}$ avec toute origine $O$. De plus : $B-A=\overrightarrow{AB}$.
$\bullet $ Les points $R,S,T,U,V,W,X,Y$ étant définis sur la figure, il vient alors: $(1-\lambda )R+\lambda W=(1-\lambda
)((1-\lambda )A+\lambda B)+\lambda ((1-\lambda )D+\lambda C)$
$=(1-\lambda )^{2}A+\lambda (1-\lambda )B+\lambda ^{2}C+\lambda (1-\lambda)D $.
Et aussi : $(1-\lambda )Y+\lambda T=(1-\lambda )((1-\lambda )A+\lambda D)+\lambda ((1-\lambda )B+\lambda C)$
$=(1-\lambda )^{2}A+\lambda (1-\lambda )B+\lambda ^{2}C+\lambda (1-\lambda)D $.
On définit ainsi un point $M=(1-\lambda )R+\lambda W=(1-\lambda)Y+\lambda T$, qui est donc l'intersection de $RW$ et $YT$.
On peut préciser : $M-R=\lambda (W-R)$, soit : $\frac{\overline{RM}}{\overline{RW}}=\lambda $, et : $\frac{\overline{YM}}{\overline{YT}}=\lambda $, mais c'est un plus.
$\bullet $ On définit de même les points $N,P,Q$, qui sont bien tels que sur la figure. Les calculs conduisent à : $\overrightarrow{MP}=P-M=((1-\lambda )^{2}-\lambda ^{2})(C-A)=((1-\lambda )^{2}-\lambda ^{2}) \overrightarrow{AC}$, et : $\overrightarrow{NQ}=Q-N=((1-\lambda )^{2}-\lambda ^{2})(D-B)=((1-\lambda)^{2}-\lambda ^{2})\overrightarrow{BD}$.
On peut préciser que $MP$ est parallèle à $AC$ et que : $\frac{\overline{MP}}{\overline{AC}}=(1-\lambda )^{2}-\lambda ^{2} $, mais c'est un plus.
$\bullet $ L'aire orientée d'un quadrilatère $ABCD$ est, avec la notation de Papelier : $\overline{ABCD}=\frac{1}{2}D\acute{e}t(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})$, le déterminant étant pris dans une base orthonormale directe.
D'où : $\overline{MNPQ}=\frac{1}{2}D\acute{e}t(\overrightarrow{MP},\overrightarrow{NQ})=\frac{1}{2}((1-\lambda )^{2}-\lambda ^{2})^{2}D\acute{e}t(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD})=((1-\lambda)^{2}-\lambda ^{2})^{2}\overline{ABCD}$, comme il a été annoncé.

Bonne journée, deuxième jour des épreuves de l'OIM. Tous nos vœux aux jeunes compétiteurs français. C'est quand même autre chose que les pousseurs de ballon.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: Aires
il y a quatre mois
Bonjour
On peut voir les points $A\ $, $B$, $C$, $D$ comme étant dans l'espace.
Dans le cas plan, toutes les droites de la configuration de Rescassol sont tangentes à une même parabole, je l'ai assez seriné, années après années!
Dans le cas de l'espace, elles appartiennent toutes à un même paraboloïde hyperbolique dont on a sous les yeux les deux systèmes de génératrices.
On a alors affaire à des tétraèdres $ABCD$ et $abcd$.
Quel est le rapport des volumes: $\dfrac{V(abcd)}{V(ABCD)}\ $?
Amicalement
pappus



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pappus.
Re: Aires
il y a quatre mois
Bonjour
La situation est la suivante: les points $A$, $B$, $C$, $D$ sont situés dans l'espace affine de dimension $3$ et sont supposés être non coplanaires.
$M(\alpha:\beta)$ est le barycentre des points massiques $(A;\alpha)$ et $(B;\beta)$.
$P(\alpha:\beta)$ est le barycentre des points massiques $(D;\alpha)$ et $(C;\beta)$.
$N(\gamma:\delta)$ est le barycentre des points massiques $(B;\gamma)$ et $(C;\delta)$.
$Q(\gamma:\delta)$ est le barycentre des points massiques $(A;\gamma)$ et $(D;\delta)$.
Il s'agit de montrer que les droites $MP$ et $NQ$ se coupent en un point $\Omega$ et de trouver le lieu de $\Omega$.
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pappus.


Re: Aires
il y a quatre mois
Bonjour pappus,

Comment vas-tu ?
Je trouve que $\Omega$ est le barycentre des points massiques $(A,\alpha\gamma),(B,\beta\gamma),(C,\beta\delta)$ et $(D,\alpha\delta)$.
Le calcul fut assez pénible donc j'ai pu me planter...
Re: Aires
il y a quatre mois
Gai Requin, bravo
Tu as gagné le jackpot.
Ne trouves tu pas que ce résultat a un petit côté tensoriel?
Quel est le lieu du point $\Omega$?
Peux-tu maintenant me calculer le rapport des volumes dans le cas $n=3$ c'est à dire quand on trisecte chacune des arêtes $AB$, $BC$, $CD$, $DA$?
Amicalement
pappus
PS
Le calcul fut assez pénible?
Tu m'étonnes! As-tu entendu parler de l'associativité barycentrique?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pappus.


Re: Aires
il y a quatre mois
J'ai entendu parler de cette associativité pour la première fois quand j'étais en seconde (i.e. je suis vieux) !
Mais depuis la prépa agreg, je fais mes calculs barycentriques dans le complété vectoriel, histoire de ne plus réfléchir du tout...
Re: Aires
il y a quatre mois
Mon cher Gai Requin
Utiliser le complété vectoriel revient à utiliser les défuntes fonctions vectorielles de Leibnitz sans le dire et ne dispense pas de réfléchir!
Voici la suite pour $n=3$.
Grâce à ton astuce, les (défuntes?) coordonnées barycentriques des points $a$, $b$, $c$, $d$ dans le repère affine $ABCD$ se calculent en un tournemain et on obtient une magnifique et glorieuse matrice de taille $4$:
$$
M =
\begin{pmatrix}
\frac 49&\frac 29&\frac 19&\frac 29\\
\frac 29&\frac 49&\frac 29&\frac 19\\
\frac 19&\frac 29&\frac 49&\frac 29\\
\frac 29&\frac 19&\frac 29&\frac 49
\end{pmatrix}
$$
Pour faire cet exercice, il faut donc:
1° Former la matrice de ces coordonnées barycentriques.
2° Savoir que le rapport des volumes est donné par son déterminant.
Reconnaissons lucidement que c'est devenu tâche impossible aujourd'hui dans notre époque moyenneâgeuse ou plutôt romaine: panem et circenses pilas
Tout ce qu'on peut faire, c'est de demander à nos taupins zélés de dévisser la matrice $M$ dans les délais les plus brefs, surtout par les temps qui courent!
Amicalement
pappus



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pappus.


Re: Aires
il y a quatre mois
Bonjour
Pour trouver le polynôme caractéristique de $M$, on a même plus besoin aujourd'hui de savoir ce que c'est!
Pour ma part, j'ai appuyé sur la touche entrée et miracle, j'ai lu sur mon écran:
$$\chi=\dfrac 1{81}(X-1)(3X-1)^2(9X-1)$$
Pour les vecteurs propres, qu'est-ce que c'est encore que ce truc?, nouvel appui sur la touche entrée pour obtenir:
$$[[[1,1/9,1/3],[1,1,2]],[[[1,1,1,1]],[[1,-1,1,-1]],[[1,0,-1,0],[0,1,0,-1]]]]$$
Et chtoc après cela, on a tout le temps de regarder sa télé!
On s'amuse comme on peut!
Explication de texte?
Amicalement
pappus
Re: Aires
il y a quatre mois
Merci pappus d'avoir formé la matrice $M$ dont le déterminant permet d'obtenir $$V(ABCD)=81\times V(abcd).$$En revanche, je ne vois pas quel est le lieu de $\Omega$. confused smiley
Re: Aires
il y a quatre mois
Bonjour Gai Requin
C'est toi même qui l'as dit pourtant!
Soit $(x:y:z:t)$ les coordonnées barycentriques homogènes du point $\Omega$ dans le repère $ABCD$, alors : $$(x:y:z:t)=(\alpha\gamma:\beta\gamma:\beta\delta:\alpha\delta)
$$ On en tire l'équation homogène du lieu de $\Omega$ : $$xz=yt$$
C'est la quadrique neutre sur laquelle je te laisse méditer !
Amicalement
pappus
PS
A voir ta réaction, serait-ce à dire que les quadriques auraient, elles aussi, disparu de la circulation ?
Cela ne m'étonnerait guère!
Pourtant voici ledit programme en géométrie:

5 Géométries affine, projective et euclidienne
Tous les espaces considérés dans ce chapitre sont de dimension finie.
1. Espace affine et espace vectoriel associé. Application affine et application linéaire associée. Sousespaces
affines, barycentres. Repères affines, équations d’un sous-espace affine. Groupe affine, notion
de propriété affine. Groupe des homothéties-translations, affinités. Parties convexes, enveloppe
convexe d’une partie d’un espace affine réel, points extrémaux.
Projection sur un convexe fermé.
2. Droite projective réelle ou complexe : groupe des homographies, birapport.
3. Isométries d’un espace affine euclidien. Groupe des isométries d’un espace affine euclidien. Déplacements,
antidéplacements. En dimension 2 : classification des isométries, similitudes directes et indirectes.
En dimension 3 : rotations.
4. Groupe des isométries laissant stable une partie du plan ou de l’espace. Polygones réguliers. Relations
métriques dans le triangle. Utilisation des nombres complexes en géométrie plane.
5. Coniques et quadriques
Application des formes quadratiques à l’étude des coniques propres du plan affine euclidien et des

quadriques de l’espace affine euclidien de dimension 3. Classification des coniques.

Intersection de quadriques et résultant.

Propriétés géométriques (affines et métriques) des coniques. Définition par foyer et directrice, définition
bifocale


Je ne sais pas trop ce que nos agrégatifs doivent savoir sur les quadriques puisqu'ils échappent à leur classification qui semble réservée aux coniques. Par contre ils ont droit à leurs intersections! Qu'est-ce que cela cache? Faisceau de quadriques, biquadratiques?



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pappus.
Re: Aires
il y a quatre mois
Honte à moi, je n'ai jamais étudié les quadriques.
Re: Aires
il y a quatre mois
Bonjour
Explication de texte?
$M$ est une matrice symétrique réelle, circulante qui plus est!
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pappus.
Re: Aires
il y a quatre mois
La quadrique $xz=yt$ possède deux droites à l'infini, la première d'équations $x+t=y+z=0$ et la deuxième d'équations $x+y=z+t=0$.
Re: Aires
il y a quatre mois
avatar
Bonjour,
Voudrez-vous excuser mon impolitesse ? Je n'ai parcouru le fil qu'en diagonale et je voudrais proposer un traitement de ce problème par le parallélogramme de Varignon.
Soit $ABCD$ un quadrilatère, soient $I,J,K,L$ les milieux de ses côtés $AB, BC, etc.$
En Quatrième, on démontre que $IJKL$ est un parallélogramme ; on l'appelle Parallélogramme de Varignon de $ABCD$.
Avec un peu de géométrie élémentaire, ou avec des produits vectoriels, on peut démontrer le
Lemme 1:
L'aire du quadrilatère ABCD est le double de l'aire de son parallélogramme de Varignon.

Lemme 2 :
Soit $ABCD$ un quadrilatère et $IJKL$ son varignon de centre $O$.
Soient $E$ et $F$ tels que $\overrightarrow{AE}=1,5\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DF}=1,5\overrightarrow{DC}$.
Alors $(LJ)$ coupe $[EF]$ en son milieu $M$ et $LO=OJ=JM$
Démonstration:
Soit $N$ le milieu de $[EF]$. Alors $OBNC$ est le varignon de $IEFK$.
Les diagonales des varignons se croisent en leurs milieux, donc $L,O,J,N$ sont alignés et régulièrement espacés et $M=N$ (voir figure 2)


Re: Aires
il y a quatre mois
avatar
Suite:
Le lemme 2 permet de tricoter par récurrences le Lemme 3:
Si les 4 côtés d'un quadrilatère $ABCD$ sont partagés en $n$ segments de mêmes longueurs, et si l'on trace dans ce quadrilatère une grille à la manière de Rescassol, alors sur chaque droite de la grille on a une succession de segments d'égale longueur.

Par exemple, sur la figure de Rescassol, $RK= 5 XW$ et $FO=5UX$ etc.

Mais Rescassol aurait pu partager tous les côtés en $10$ par une grille plus fine.
Soit alors $\Omega$ le point central de sa grille.
Soient $\varepsilon \phi\eta\nu$ le varignon de $UVWX$ et $\alpha\beta\gamma\delta$ celui de $ABCD$
Alors $\alpha\beta\gamma\delta$ est l'image de $\varepsilon \phi\eta\nu$ par l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $5$
donc l'aire de ce grand varignon égale $25$ fois celle du petit.
et , en vertu du lemme 1:
$$\boxed{\mathcal A(ABCD)=25\mathcal A(UVWX)}$$
Amicalement. jacquot



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.


Re: Aires
il y a quatre mois
Salut pappus,

Que souhaitais-tu qu'on raconte sur la quadrique $xz=yt$ ?
Que nous apprennent ses deux droites à l'infini ?

Bonne soirée.
Re: Aires
il y a quatre mois
Bonsoir à tous
Et MERCI à Jacquot d'avoir pris la peine de nous donner une étude de ce problème accessible à mes pauvres connaissances !
Bien cordialement
JLB
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