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Un triangle et des cercles

Envoyé par jelobreuil 
Un triangle et des cercles
il y a deux mois
Bonsoir à tous,
Est-ce que les trois cercles tangents deux à deux de la figure jointe portent un nom particulier ?
Et ont-ils d'autres propriétés que ce qu'on peut déduire immédiatement de cette figure concernant leurs rayons ?
Merci d'éclairer ma lanterne !
Cordialement.
JLB

Merci, je me coucherai (un peu) moins bête ce soir !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.


Re: un triangle et des cercles
il y a deux mois
avatar
Soit $a$, $b$, $c$ les longueurs des côtés de ton triangle rose et $s$ son demi-périmètre.
Alors les courbures (1/rayon) de tes cercles sont $e_1:=1/(s-a)$, $e_2:=1/(s-b)$, $e_1:=1/(s-c)$.
Il y a deux cercles tangents aux trois précédents. Leurs courbures $x$ sont les solutions de l'équation
$$
(x+e_1+e_2+e_3)^2=2(x^2+e_1^2+e_2^2+e_3^2)
$$
une conséquence du théorème des 4 cercles de Descartes-Soddy et alias.
La courbure négative correspond à un cercle englobant.

Tu peux t'entraîner avec un triangle rectangle pythagoricien tel $T(3,4,5)$.
Re: un triangle et des cercles
il y a deux mois
avatar
Pour construire la figure infra on cherche une solution
en réels positifs de $\;a^2+b^2+c^2=d^2$. Les courbures $e_i$
des huit cercles de la configuration (un double Kiss) sont alors
$$
e_i = d\pm a\pm b\pm c
$$
Résultat de 1984 dû à votre humble serviteur en ce temps encore fit et point fat,
obtenu via une inversion de $\overline{\mathbb{R}^3}$.


Re: Un triangle et des cercles
il y a deux mois
Merci, Soland, de ton intérêt pour mes petits problèmes et des indications de recherche que tu me donnes ...
En fait, j'ai construit cette figure en cherchant comment tracer un cercle qui soit tangent à deux autres cercles donnés tangents l'un à l'autre, et j'ai constaté qu'à première vue, il faut d'une part, pour que ce soit possible, se donner également le point de tangence du troisième cercle avec l'un des deux premiers, et d'autre part, mettre à profit les propriétés du centre du cercle inscrit dans un triangle ...
En poursuivant l'étude de cette configuration, j'ai construit la figure ci-dessous, où apparaissent trois couples de points diamétralement opposés, formés par les points d'intersection des trois cercles avec les trois droites portant les côtés du triangle des points de tangence. J'avoue que je ne comprends pas comment cela se fait ! J'ai en outre l'impression que le petit triangle bleu est semblable au mauve ...
Elle est bien belle, ta dernière figure ! en 34 ans, elle n'a rien perdu de ses charmes ! Merci de la confirmation qu'elle me donne de ce que je subodorais, qu'il y a toujours un quatrième cercle tangent aux trois premiers. Et d'après ce que je vois, il semble difficile, sauf à passer dans une autre dimension, d'en imaginer un cinquième qui soit tangent aux quatre autres, donc on s'arrêtera là, dans le plan.
Bien cordialement
JLB


Re: Un triangle et des cercles
il y a deux mois
avatar
En 3D on remplace chaque cercle par une sphère de même diamètre.
On peut alors ajouter une 5e sphère tangente aux 4 premières.
On utilise pour ça la version 3D du théorème des courbures,
où le facteur 2 du 2e membre est remplacé par 3.
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