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Deux droites gauches

Envoyé par soland 
Deux droites gauches
il y a trois mois
avatar
Soit $R$ la réunion de deux droites orthogonales gauches de l'espace euclidien $\mathcal{E}^3$.
Le groupe des isométries transformant $R$ en $R$ est-il engendré par ses éléments d'ordre 2 ?
Re: Deux droites gauches
il y a trois mois
Il m'est arrivé de trouver dans la littérature un « plan gauche », je ne me rappelle plus bien ce que c'était, peut-être un morceau de paraboloïde hyperbolique. Mais une « droite gauche », je ne sais.
Bonne journée.
Fr. Ch.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Chaurien.
Re: Deux droites gauches
il y a trois mois
Une droite gauche, personne ne sait ; deux droites gauches, oui : ce sont deux droites qui ne sont pas sécantes ni parallèles (précision inutile dans ce cas très précis, elles sont orthogonales).

PS : en effet, une courbe gauche est une « courbe dont tous les points ne sont pas dans le même plan » – ici, la réunion de deux droites est une courbe (non connexe : c'est un abus ? pas vraiment, les hyperboles en sont d'autres).



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Math Coss.
Re: Deux droites gauches
il y a trois mois
Ah merci Math Coss. Moi j'aurais dit « deux droites non coplanaires ».
Re: Deux droites gauches
il y a trois mois
Bonsoir
Vite dit:
Si $D$ et $D'$ ne sont pas orthogonales, il n'y a pas d'isométries indirectes et $G$ est isomorphe au groupe de Klein d'ordre 4.
Si $D$ et $D'$ sont orthogonales, il faut rajouter quatre isométries indirectes et $G$ est isomorphe au groupe diédral d'ordre 8.
Amicalement
pappus
Re: Deux droites gauches
il y a trois mois
avatar
suite à pappus :

... qui est engendré ici par une symétrie fixant une des droites
et un demi-tour qui les permute.
Ce sont des involutions ($\sigma^2=id$)


Re: Deux droites gauches
il y a trois mois
Bonjour Soland
C'était une question d'oral de CAPES, il y a quarante ans!
On peut la trouver exposée dans le livre de Denis Richard et Jean Marie Braemer, CAPES mathématique, Préparation à l'Oral, leçons 11-18, Hermann 1978, ISBN 2 7056 1392 7, leçon 15, page 61
Aujourd'hui, on en serait plutôt à l'étude du stabilisateur d'une droite du plan!
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par pappus.
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