Projection stéréographique modifiée

Saturne · July 2018

J'ai vu cette formule quelque part, je ne sais plus où. Il s'agirait d'une projection stéréographique "modifiée" de $S^3$ dans $\R^3$.
$$s(x_1,x_2,x_3,x_4) = (r x_1, r x_2, r x_3)$$ où $r = \dfrac{\textrm{acos}(x_4)}{\pi \sqrt{1-x_4^2}}$.

Savez-vous ce que c'est ? À quoi ça correspond géométriquement ?

jacquot · July 2018

Bonjour Saturne,

Ma réponse sera celle d'un amateur.
Soit $S_2$ le sphère de rayon $1$ dans $\mathbb R^3$. Son équation est $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$
Considérons la projection $\sigma\ $:\$ (x_1,x_2,x_3)\mapsto (rx_1,rx_2)$ avec $r=\dfrac 1{\sqrt{1-x_3^2}}$
Soit $\mathcal C$ le cercle de rayon unitaire parallèle à l'équateur et centré sur le pôle Nord $(0,0,1)$
Alors $r$ est le rayon du parallèle passant par le point $M: (x_1,x_2,x_3)$ et $\sigma$ projette chaque point de la sphère sur le point de $\mathcal C$ de même longitude.

Considérons alors $s\ $:\$ (x_1,x_2,x_3)\mapsto (\ell .rx_1,\ell .rx_2)$ avec $\ell =\arccos(x_3)$.
$\ell$ est la colatitude du point $M$ ou sa distance au pôle Nord sur son méridien.

Ainsi $s$ fournira une carte polaire d'origine le pôle Nord où chaque point de la sphère sera représenté par le point $[\ell ; \alpha]$ où $\ell$ est sa colatitude et $\alpha$ sa longitude.

Cette carte sera quasiment conforme au voisinage du pôle Nord et très déformée au voisinage du pôle Sud qui est représenté par son cercle-frontière. Je peux faire un dessin si nécessaire.

Mais dans ta question, il s'agit d'une projection de la sphère $S_3$ de $\mathbb R^4$ et là je ne sais pas m'en donner une représentation mentale, tout au plus peut-on imaginer une analogie.
Bon dimanche. jacquot