Un triangle et des coniques

jelobreuil · July 2018

Bonsoir à tous
Soient un triangle ABC, et trois paires de points (P1, P2), (Q1, Q2) et (R1, R2) symétriques par rapport aux médiatrices des côtés BC, CA et AB, respectivement, du triangle, et situés à des distances de ces côtés proportionnelles aux longueurs respectives de ces côtés. Bien entendu, si l'on fait balayer le plan par une demi-droite tournant autour du centre d'un cercle lié au triangle, elle va rencontrer successivement les points PI, P2, Q1, Q2, R1 et R2 dans cet ordre (ce n'est certainement pas la meilleure façon d'exprimer cela, mais j'espère que vous me comprendrez sans trop de mal ...)
Dans les deux premières figures jointes, j'ai pris pour points P1 et P2 les milieux des côtés du triangle équilatéral construit sur BC, et idem pour les deux autres paires.
Les trois céviennes AP1, BQ1 et CR1 forment un triangle, les trois autres en forment un autre, et les six sommets de ces deux triangles se retrouvent sur une même ellipse ...
De même, les trois perpendiculaires abaissées de P1, Q1 et R1 sur BC, CA et AB respectivement forment un triangle, ainsi que les trois autres passant par P2, Q2 et R2, et les six sommets de ces deux triangles se retrouvent sur une même ellipse ...
Quand les paires de points symétriques sont situées à des distances quelconques des côtés du triangle, cette propriété des six sommets est conservée pour les deux triplets de perpendiculaires, l'ellipse pouvant se muer en hyperbole, mais elle ne l'est plus pour les céviennes. Voir les deux dernières figures.
Merci de m'indiquer à quoi se rattachent ces observations.
Bien cordialement
JLB 78374

poulbot · July 2018

Bonjour jelobreuil
Si j'ai bien compris $\left( ??\right) $, on a $3$ droites $d_{a},d_{b},d_{c}$ perpendiculaires respectivement à $BC,CA,AB$ et leurs symétriques $d_{a}^{\prime },d_{b}^{\prime },d_{c}^{\prime }$ respectivement par rapport aux médiatrices de $\left[ BC\right] ,\left[ CA\right] ,\left[ AB\right] $ et il s'agit de prouver que les sommets du triangle de côtés $d_{a},d_{b},d_{c}$ et ceux du triangle de côtés $d_{a}^{\prime },d_{b}^{\prime },d_{c}^{\prime }$ sont sur une même conique.
C'est évident car ces $2$ triangles sont symétriques par rapport au centre $O$ du cercle $ABC$ (qui, du coup, est le centre de la conique).
Amicalement. Poulbot

jelobreuil · July 2018

Bonjour à tous,
Oui, Poulbot, tu as bien compris la moitié de mes questions !
Et en effet, je n'avais pas réalisé que mon deuxième procédé, avec trois paires de perpendiculaires aux trois côtés du triangle, symétriques par rapport à la médiatrice du côté respectif, aboutit à construire en fait trois paires de parallélogrammes de même centre, inscrits dans une même conique. Et il est plus que normal que cela ne dépende pas des positions des paires de points de base par rapport au triangle ...
Mais pour mon premier procédé où j'utilise les céviennes relatives aux points de base, il est nécessaire que ces points se situent à des distances des côtés du triangle qui soient respectivement proportionnelles à ces côtés. En fait, cela revient à construire, sur chaque côté du triangle, une paire de triangles symétriques par rapport à la médiatrice du côté, donc égaux, et semblables d'une paire à l'autre, comme dans le cas du théorème de Jacobi ou de Fermat-Torricelli (merci à Jean-Louis Ayme de m'avoir communiqué son article sur ce sujet).
N'y aurait-il pas une idée générale là-dessous, du genre association entre un point de concours et une série de coniques homothétiques ? comme dans le fil "Triangle et ellipse" que j'avais initié il y a trois mois ...
Bien cordialement

poulbot · July 2018

Bonjour jelobreuil
J'avais bien compris ta première partie mais trouver une CNS pour que les sommets de tes $2$ triangles soient sur une même conique m'a semblé trop compliqué pour moi.

Par contre, le cas ultra-particulier que tu as pris se généralise très bien ainsi (mais cela ne reste qu'un cas particulier) :
Etant donnés les trois triangles isocèles directement semblables $BPC,CQA,ARB$, prenant $P_{1},Q_{1},R_{1}$ respectivement sur les droites $BP,CQ,AR$ et $P_{2},Q_{2},R_{2}$ respectivement sur les droites $CP,AQ,BR$ avec $P_{1}P_{2}\parallel BC,Q_{1}Q_{2}\parallel CA,R_{1}R_{2}\parallel AB$, les sommets du triangle de côtés $AP_{1},BQ_{1},CR_{1}$ et ceux du triangle de côtés $AP_{2},BQ_{2},CR_{2}$ sont sur une même conique.

Amicalement. Poulbot

jelobreuil · July 2018

Bonjour Poulbot, bonjour à tous,
Pour illustrer ma première question, j'avais en effet choisi une configuration simple à dessiner, en prenant pour points P1, P2, Q1, Q2, R1 et R2 les milieux des côtés des triangles équilatéraux respectifs, ce qui assure à la fois la symétrie des positions de ces points par rapport aux médiatrices des côtés respectifs et la proportionnalité, dans le même rapport, de la distance des segments P1P2, Q1Q2 et R1R2 aux côtés BC, CA et AB.
Ce que je voulais dire avec la mention "situés à des distances de ces côtés proportionnelles aux longueurs respectives de ces côtés" apparaît bien dans les figures jointes : quand cette condition n'est pas respectée, il n'y a plus de co-conicité des six points considérés.
Je pense qu'en fait, pour que les six points d'intersection considérés se trouvent sur une même conique, il faut que les triangles BP1C, CQ1A et AR1B soient directement semblables entre eux, et inversement égaux aux triangles BP2C, CQ2A et AR2B, respectivement.
Bien cordialement
JLB 78472

Un triangle et des coniques

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