Trois points alignés

Bonjour Soland,
et merci pour ce joli problème !
Bien cordialement
JLB

Bonjour,

clc, clear all, close all

syms b c d e;
syms bB cB dB eB; % Conjugués

bB=1/b;
cB=1/c;
dB=1/d;
eB=1/e;

%-----------------------------------------------------------------------

[a aB]=IntersectionDeuxDroites(1,b*e,-b-e,1,c*d,-c-d);
[x xB]=IntersectionDeuxDroites(1,b*d,-b-d,1,c*e,-c-e);
[h1 h1B]=Orthocentre(a,b,c,aB,bB,cB);
h1=prod(h1);
h1B=prod(h1B);
[h2 h2B]=Orthocentre(a,d,e,aB,dB,eB);
h2=prod(h2);
h2B=prod(h2B);

M=[x xB 1; h1 h1B 1; h2 h2B 1];
Nul=Factor(det(M)) % Egal à 0 donc ça marche

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir Soland
Alexandrie? Apollonius?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Quel est le lieu du point $x$ ?

Bonjour Pappus
"Quel est le lieu du point $x$?"
Puisque $\left( ba,bx\right) =\left( cx,ca\right) $, c'est l'hyperbole équilatère passant par $a,b,c$ et centrée au milieu de $\left[ bc\right] $.
Amicalement. Poulbot

Bonjour Pappus

"C'est sans doute une caractérisation de l'hyperbole équilatère qui est devenue inconnue au bataillon depuis longtemps!"
C'est pourtant facile à retenir :
$\left( BA,BM\right) =\left( CA,CM\right) $ Cercle $ABC$
$\left( BA,BM\right) =-\left( CA,CM\right) $ Hyperbole équilatère passant par $A,B,C$ et centrée au milieu de $\left[ BC\right] $

"Quelle est la direction des asymptotes?"
Celles des bissectrices de $\left( ab,ac\right) $.

Amicalement. Poulbot

Voici comment Pappus (et non pappus) permet de résoudre le problème.

Lemme. Soient $A,B,C,D$ quatre points alignés sur une droite $d$, et $A',B',C',D'$ quatre points alignés sur une autre droite $d'$. Il y a équivalence entre :

(i) les trois points $(AB')\cap (A'B)$, $(BC')\cap (B'C)$ et $(CD')\cap (C'D)$ sont alignés ;
(ii) les birapports $(A,B,C,D)$ et $(A',B',C',D')$ sont égaux ;
(iii) les six points $(AB')\cap (A'B)$, $(AC')\cap (A'C)$, $(AD')\cap (A'D)$, $(BC')\cap (B'C)$, $(BD')\cap (B'D)$ et $(CD')\cap (C'D)$ sont alignés.

Démonstration. Soit $\Delta$ la droite passant par les deux points $(AB')\cap (A'B)$ et $(AC')\cap (A'C)$. Cette droite contient $(BC')\cap (B'C)$ d'après le théorème de Pappus. Pour tout $M\in d$, soit $f(M)=\Delta\cap (A'M)$, et pour tout $N\in\Delta$, soit $g(N)=(AN)\cap d'$. Soit $h=g\circ f$. Alors $h$ est une homographie. De plus, par définition de $h$, on a $h(A)=A'$, $h(B)=B'$ et $h(C)=C'$. Or, l'assertion (i) équivaut à $D'=h(D)$, ce qui équivaut bien à l'assertion (ii) puisque $h$ est une homographie.

L'équivalence avec (iii) en découle puisque la propriété (ii) est invariante par permutation.

Revenons au problème de soland. Notons $b'$ et $c'$ les pieds des hauteurs du triangle $abc$ issues de $b$ et $c$ respectivement. On définit de même $d'$ et $e'$.

Les droites $(ee')$ et $(bb')$ sont parallèles (car toutes deux perpendiculaires à $(ac)$). De même, $(d'd)$ et $(c'c)$ sont parallèles.

Les droites $(b'c')$ et $(de)$ sont parallèles car $abc$ est à la fois semblable à $ab'c'$ et à $ade$.

Donc les trois points d'intersection $(e'e)\cap (bb')$, $(b'c')\cap (ed)$ et $(dd')\cap (c'c)$ sont alignés sur la droite à l'infini. D'après l'implication $(i)\implies (ii)$ du lemme, on a $(e'b'dc)=(bec'd')$. On en déduit $(cdb'e')=(bec'd')$, donc d'après l'implication $(ii)\implies (iii)$ du lemme, les points $x=(bd)\cap(ce)$, $h_1=(bb')\cap (cc')$ et $h_2=(dd')\cap (ee')$ sont alignés.