Optique géométrique bis

Théorème : La normale N à l'ellipse E est la bissectrice de l'angle (fpg).
Elle est aussi la bissectrice des rayons incident et réfléchi (th. d'optique).

Il s'ensuit qu'un rayon partant de la région jaune y retourne après réflexion,
idem pour la zone turquoise.

Il suffit de montrer que le rayon réfléchi est tangent à la même conique $\Gamma$ de foyers $F$ et $F'$ (cette conique est bien déterminée comme tu l'as vu) que le rayon incident. Autrement dit : si $P$ est le point de réflexion, le rayon incident et le rayon réfléchi sont les deux tangentes à $\Gamma$ menées de $P$.
Pour ça, tu as l'indication de Soland et le théorème de Poncelet.

Il ne te reste plus qu'à démontrer le petit théorème de Poncelet.

Une démonstration alternative pour la fin :
Puisque $fF'=Ff'$, on a $fF'=s_{(PT')}(F)F'$, où $s_d$ note la symétrie orthogonale par rapport à la droite $d$. On a aussi $fP=s_{(PT')}(F)P$, donc $(PF')$ est la médiatrice de $s_{(PT')}(F)$ et $f$, d'où $(s_{(PT')}\circ s_{(PF')})(f)=F$. Comme évidemment $(s_{PF}\circ s_{(PT)})(f)=F$, les deux rotations $s_{(PT')}\circ s_{(PF')}$ et $s_{PF}\circ s_{(PT)}$ de centre $P$ sont égales et les angles orientés de droites $((PF'),(PT'))$ et $((PT),(PF))$ sont égaux.

Je ne comprends pas bien cet énoncé. Le petit théorème de Monsieur Poncelet nous dit que si $ABC$ est un triangle inscrit dans $E$ et circonscrit à $E'$, alors forcément la bissectrice intérieure en un sommet est normale à $E$ en ce sommet.
Le problème me semble non pas cette propriété des bissectrices intérieures, mais l'existence d'un triangle inscrit dans $E$ et circonscrit à $E'$ (et dans ce cas, le grand théorème du même Monsieur Poncelet nous dit que tout point de $E$ est sommet d'un tel triangle.
Ai-je loupé quelque chose ?

Bonjour
Prenant la demi-distance focale $c=1$,
les matrices $A$ et $A^{\prime }$ des $2$ ellipses sont les matrices diagonales $\left( e^{2},\dfrac{e^{2}}{1-e^{2}},-1\right) $ et $\left( e^{\prime 2},\dfrac{e^{\prime 2}}{1-e^{\prime 2}},-1\right) $.
$\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ étant les fonctions symétriques élémentaires des valeurs propres de $A^{\prime -1}A$, la condition de Cayley d'ordre $3$ (pour qu'il existe un triangle inscrit dans $E$ et circonscrit à ) est $\sigma _{1}^{2}-4\sigma _{2}=0$.
Les $3$ valeurs propres de $A^{\prime -1}A$ étant $\dfrac{e^{2}}{e^{\prime 2}},\dfrac{e^{2}\left( 1-e^{\prime 2}\right) }{e^{\prime 2}\left( 1-e^{2}\right) },1$, on obtient ici $\left( e^{\prime 2}-2e\left( 1-e^{2}\right) e^{\prime }-e^{4}\right) \left( e^{\prime 2}+2e\left( 1-e^{2}\right) e^{\prime }-e^{4}\right) =0$.
Comme on doit avoir $e<e^{\prime }<1$, il vient $e^{\prime }=e\left( 1-e^{2}+\sqrt{1-e^{2}+e^{4}}\right) $.


Dans le cas d'un quadrilatère, où la condition de Cayley est qu'une des valeurs propres soit la somme des $2$ autres, on obtient $e^{\prime }=e\sqrt{2-e^{2}}$. Dans ce cas les quadrilatères inscrits dans $E$ et circonscrits à $E^{\prime }$ sont des parallélogrammes.


De façon générale, étant donné le développement en série formelle $\sqrt{1+\sigma _{1}X+\sigma _{2}X^{2}+\sigma _{3}X^{3}}=\Sigma \alpha _{n}X^{n}$, la condition pour qu'il existe un polygone à $n$ sommets inscrit dans $E$ et circonscrit à $E^{\prime }$ est $\alpha _{n}=0$ (Cayley).

Amicalement. Poulbot