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Courbe sur une sphère

Envoyé par Piteux_gore 
Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Bonjour,

Que peut-on dire de beau sur le lieu des points d'une sphère pour lesquels latitude = longitude ?

A+
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
avatar
Bonjour,

Rien de folichon. En coordonnées sphériques $\displaystyle R>0$, $\displaystyle 0 \leq \varphi <2\pi$, $\displaystyle 0 \leq \theta \leq \pi$ avec $\displaystyle x=R\sin \theta \cos \varphi, y=R \sin \theta \sin \varphi, z=R \cos \theta$ on définit la longitude $\displaystyle \varphi $ avec $\displaystyle -\pi < \varphi \leq\pi$ et la longitude $\displaystyle \alpha = \pi/2-\theta$ avec $\displaystyle \pi/2 \leq \alpha \leq \pi/2$ où $\displaystyle \varphi=0$ est le méridien de référence et $\displaystyle \alpha=0$ est l'équateur.
Quand la longitude égale la latitude, alors [corrigé] $\displaystyle \alpha = \varphi$ et donc $\displaystyle x=R \cos^2 \alpha, y=R \sin \alpha \cos \alpha, z=R \sin \alpha.$ Pour $\displaystyle \alpha = 0$, on trouve le point à l'intersection de l'équateur et du méridien de référence, pour $\displaystyle \alpha \neq 0$ on trouve que nécessairement : $\displaystyle x z^2=R y^2$ Le lieu est donc l'intersection de cette surface avec la sphère.
Je te laisse résoudre le système (pour $\displaystyle R=1$ sans perte de généralité) : $\displaystyle \{x^2+y^2+z^2=1,x z^2=y^2\}$ ou faire de la géométrie pour caractériser le lieu cool smiley.
On peut éliminer une des variables $x,y,z$ de ce système et obtenir trois vues... et avec un peu d'imagination, on visualise le lieu, mais le mieux serait de tracer avec un logiciel.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par YvesM.
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Bonjour
Si on a:
$x=R\cos^2(\alpha)$ et $y=R\sin^2(\alpha)$,
alors $x+y=R$
Mais la courbe $x=R\cos^2(\alpha)$ , $y=R\sin^2(\alpha)$, $z=R\sin(\alpha)$ se trouve-t-elle tracée sur la sphère de Monsieur Bernhard Riemann?
Amicalement
pappus
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Bizarre, avec la paramétrisation donnée par YvesM, on trouve $$x^2+y^2+z^2= R^2(\cos^4\alpha+\sin^4\alpha+\sin^2\alpha)=R^2(1+2\sin^4\alpha-\sin ^2\alpha)\;.$$
Hum, ça n'a pas l'air d'être dans la sphère de rayon $R$.

PS. Tiens, Pappus est de retour !



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par GaBuZoMeu.
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Bonjour
En fait, Yves a dû mal recopier ses calculs, on trouve:
$x=R\cos^2(\alpha)$, $y=R\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, $z=R\sin(\alpha)$
intersection de la sphère de Riemann avec le cylindre parabolique d'équation: $x=R(1-\dfrac{z^2}{R^2})$
Il serait intéressant de faire la défunte épure de cette biquadratique avec ses projections sur les trois plans coordonnées!
Ce serait une biquadratique!
Amicalement
pappus



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pappus.
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
C'est la fenêtre de Viviani.
[www.mathcurve.com]
[fr.wikipedia.org]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Chaurien.
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Re

Merci pour ces informations.

La projection sur le plan équatorial est un cercle.

A+
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
C'est bien clair avec la paramétrisation correcte :
$$x=\frac12+\frac12\cos (2\alpha)\quad y =\frac12 \sin(2\alpha)\quad z=\sin(\alpha)\;.$$
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Bonjour
Regarder le fil:
Intersection de surfaces
Amicalement
pappus
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
RE

Sauf erreur de ma part, la projection sur l'un des plans verticaux du trièdre de référence est un arc de parabole.

Reste la troisième projection…

A+
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Bonjour
Voilà à quoi ressemblait autrefois la défunte épure de la fenêtre de Viviani, en fait de la géométrie algébrique manuelle!
Il ne manque que la construction de la tangente au point courant $(m,m')$ de la fenêtre comme intersection des plans tangents en $(m,m')\ $ à la sphère et au cylindre.
Amicalement
pappus



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pappus.


Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Bonjour,

Une animation avec la tangente au point courant $m,m_1'$:

Viviani

Les lignes de construction pour l'intersection des deux plans tangents ont été supprimées pour plus de clarté.
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Merci Lake pour ton épure qui complète la mienne.
Je n'ai pas très bien compris ta construction de la tangente au point courant.
Ci dessous ma nouvelle épure où j'ai effectué cette construction comme intersection des plans tangents, comprenne qui pourra!
Amicalement
pappus


Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Bonsoir pappus,

Ta construction est plus propre et plus concise que la mienne.

J'ai compris ceci:

- Le plan tangent à la sphère en $m,m'$ est défini par l'horizontale $(h,h')$ et la frontale $(f,f')$ sécantes en ce point avec $h\perp (om)$ et $f'\perp (o'm')$.

- On détermine une autre horizontale frontale de ce plan passant par un point quelconque $u,u'$ de $(h,h')$ (projection frontale parallèle à $f'$).

- Le plan vertical tangent en $(m,m')$ au cylindre recoupe cette horizontale frontale en $t,t'$.

- La droite $(tm,t'm')$ est la tangente cherchée intersection des deux plans.

Merci pour cette épure.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Lake.
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Merci Lake
Je fais surtout ces épures par nostalgie!
En fait, j'ai tout oublié!
Faire l'épure d'un point sur la sphère et déterminer son plan tangent sont des questions simples auxquelles il n'est plus facile de répondre aujourd'hui.
Je suppose que les ingénieurs qui doivent utiliser la géométrie descriptive ont maintenant des logiciels qui font le sale boulot des taupins d'autrefois.
Je me raccroche à ma jeunesse tant que je le peux encore!
Amicalement
pappus
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Bonjour pappus,

Citation
pappus
Je fais surtout ces épures par nostalgie!

Moi, non! Je n'ai pas connu la descriptive au lycée pas plus qu'en prépa. Je dois être un peu plus jeune que toi.
Je m'y suis mis sur le tard en autodidacte et j'y prends beaucoup de plaisir encore aujourd'hui d'autant plus qu'associée à un logiciel de géométrie dynamique, la descriptive fait des petits miracles...

Tout de même: "le sale boulot des taupins d'autrefois" Tu y vas un peu fort!

Amicalement.
Lake.
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Mon cher Lake
J'ai vécu l'époque où rater ou réussir une épure faisait toute la différence!
Tu regardes alors les frontales et les horizontales de toute autre manière.
En tout cas, bravo d'avoir si bien déchiffré mon épure.
Amicalement
pappus
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Sans parler du tire-ligne qui bave !
Re: Courbe sur une sphère
il y a trois mois
Bonjour
Sans parler du flacon d'encre qui se renverse au mauvais moment!
C'était vraiment un sale boulot dans tous les sens du terme et j'ai vécu tout cela!
En plus soixante dix ans après (en) avoir bavé, j'ai la mémoire qui flanche, je ne m'souviens plus très bien!
Heureusement Lake est encore là!
Amicalement
pappus



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par pappus.
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