Absurdité et complexité sont les deux mamelles de l'administration.
Courbe sur une sphère
dans Géométrie
Bonjour,
Que peut-on dire de beau sur le lieu des points d'une sphère pour lesquels latitude = longitude ?
A+
Que peut-on dire de beau sur le lieu des points d'une sphère pour lesquels latitude = longitude ?
A+
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Réponses
Rien de folichon. En coordonnées sphériques $\displaystyle R>0$, $\displaystyle 0 \leq \varphi <2\pi$, $\displaystyle 0 \leq \theta \leq \pi$ avec $\displaystyle x=R\sin \theta \cos \varphi, y=R \sin \theta \sin \varphi, z=R \cos \theta$ on définit la longitude $\displaystyle \varphi $ avec $\displaystyle -\pi < \varphi \leq\pi$ et la longitude $\displaystyle \alpha = \pi/2-\theta$ avec $\displaystyle \pi/2 \leq \alpha \leq \pi/2$ où $\displaystyle \varphi=0$ est le méridien de référence et $\displaystyle \alpha=0$ est l'équateur.
Quand la longitude égale la latitude, alors [corrigé] $\displaystyle \alpha = \varphi$ et donc $\displaystyle x=R \cos^2 \alpha, y=R \sin \alpha \cos \alpha, z=R \sin \alpha.$ Pour $\displaystyle \alpha = 0$, on trouve le point à l'intersection de l'équateur et du méridien de référence, pour $\displaystyle \alpha \neq 0$ on trouve que nécessairement : $\displaystyle x z^2=R y^2$ Le lieu est donc l'intersection de cette surface avec la sphère.
Je te laisse résoudre le système (pour $\displaystyle R=1$ sans perte de généralité) : $\displaystyle \{x^2+y^2+z^2=1,x z^2=y^2\}$ ou faire de la géométrie pour caractériser le lieu B-).
On peut éliminer une des variables $x,y,z$ de ce système et obtenir trois vues... et avec un peu d'imagination, on visualise le lieu, mais le mieux serait de tracer avec un logiciel.
Si on a:
$x=R\cos^2(\alpha)$ et $y=R\sin^2(\alpha)$,
alors $x+y=R$
Mais la courbe $x=R\cos^2(\alpha)$ , $y=R\sin^2(\alpha)$, $z=R\sin(\alpha)$ se trouve-t-elle tracée sur la sphère de Monsieur Bernhard Riemann?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Hum, ça n'a pas l'air d'être dans la sphère de rayon $R$.
PS. Tiens, Pappus est de retour !
En fait, Yves a dû mal recopier ses calculs, on trouve:
$x=R\cos^2(\alpha)$, $y=R\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, $z=R\sin(\alpha)$
intersection de la sphère de Riemann avec le cylindre parabolique d'équation: $x=R(1-\dfrac{z^2}{R^2})$
Il serait intéressant de faire la défunte épure de cette biquadratique avec ses projections sur les trois plans coordonnées!
Ce serait une biquadratique!
Amicalement
[small]p[/small]appus
https://www.mathcurve.com/courbes3d/viviani/viviani.shtml
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fenêtre_de_Viviani
Merci pour ces informations.
La projection sur le plan équatorial est un cercle.
A+
$$x=\frac12+\frac12\cos (2\alpha)\quad y =\frac12 \sin(2\alpha)\quad z=\sin(\alpha)\;.$$
Regarder le fil:
Intersection de surfaces
Amicalement
[small]p[/small]appus
Sauf erreur de ma part, la projection sur l'un des plans verticaux du trièdre de référence est un arc de parabole.
Reste la troisième projection…
A+
Voilà à quoi ressemblait autrefois la défunte épure de la fenêtre de Viviani, en fait de la géométrie algébrique manuelle!
Il ne manque que la construction de la tangente au point courant $(m,m')$ de la fenêtre comme intersection des plans tangents en $(m,m')\ $ à la sphère et au cylindre.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Une animation avec la tangente au point courant $m,m_1'$:
Viviani
Les lignes de construction pour l'intersection des deux plans tangents ont été supprimées pour plus de clarté.
Je n'ai pas très bien compris ta construction de la tangente au point courant.
Ci dessous ma nouvelle épure où j'ai effectué cette construction comme intersection des plans tangents, comprenne qui pourra!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Ta construction est plus propre et plus concise que la mienne.
J'ai compris ceci:
- Le plan tangent à la sphère en $m,m'$ est défini par l'horizontale $(h,h')$ et la frontale $(f,f')$ sécantes en ce point avec $h\perp (om)$ et $f'\perp (o'm')$.
- On détermine une autre horizontale frontale de ce plan passant par un point quelconque $u,u'$ de $(h,h')$ (projection frontale parallèle à $f'$).
- Le plan vertical tangent en $(m,m')$ au cylindre recoupe cette horizontale frontale en $t,t'$.
- La droite $(tm,t'm')$ est la tangente cherchée intersection des deux plans.
Merci pour cette épure.
Je fais surtout ces épures par nostalgie!
En fait, j'ai tout oublié!
Faire l'épure d'un point sur la sphère et déterminer son plan tangent sont des questions simples auxquelles il n'est plus facile de répondre aujourd'hui.
Je suppose que les ingénieurs qui doivent utiliser la géométrie descriptive ont maintenant des logiciels qui font le sale boulot des taupins d'autrefois.
Je me raccroche à ma jeunesse tant que je le peux encore!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Moi, non! Je n'ai pas connu la descriptive au lycée pas plus qu'en prépa. Je dois être un peu plus jeune que toi.
Je m'y suis mis sur le tard en autodidacte et j'y prends beaucoup de plaisir encore aujourd'hui d'autant plus qu'associée à un logiciel de géométrie dynamique, la descriptive fait des petits miracles...
Tout de même: "le sale boulot des taupins d'autrefois" Tu y vas un peu fort!
Amicalement.
Lake.
J'ai vécu l'époque où rater ou réussir une épure faisait toute la différence!
Tu regardes alors les frontales et les horizontales de toute autre manière.
En tout cas, bravo d'avoir si bien déchiffré mon épure.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Sans parler du flacon d'encre qui se renverse au mauvais moment!
C'était vraiment un sale boulot dans tous les sens du terme et j'ai vécu tout cela!
En plus soixante dix ans après (en) avoir bavé, j'ai la mémoire qui flanche, je ne m'souviens plus très bien!
Heureusement Lake est encore là!
Amicalement
[small]p[/small]appus