Courbe sur une sphère

Bonjour,

Rien de folichon. En coordonnées sphériques $\displaystyle R>0$, $\displaystyle 0 \leq \varphi <2\pi$, $\displaystyle 0 \leq \theta \leq \pi$ avec $\displaystyle x=R\sin \theta \cos \varphi, y=R \sin \theta \sin \varphi, z=R \cos \theta$ on définit la longitude $\displaystyle \varphi $ avec $\displaystyle -\pi < \varphi \leq\pi$ et la longitude $\displaystyle \alpha = \pi/2-\theta$ avec $\displaystyle \pi/2 \leq \alpha \leq \pi/2$ où $\displaystyle \varphi=0$ est le méridien de référence et $\displaystyle \alpha=0$ est l'équateur.
Quand la longitude égale la latitude, alors [corrigé] $\displaystyle \alpha = \varphi$ et donc $\displaystyle x=R \cos^2 \alpha, y=R \sin \alpha \cos \alpha, z=R \sin \alpha.$ Pour $\displaystyle \alpha = 0$, on trouve le point à l'intersection de l'équateur et du méridien de référence, pour $\displaystyle \alpha \neq 0$ on trouve que nécessairement : $\displaystyle x z^2=R y^2$ Le lieu est donc l'intersection de cette surface avec la sphère.
Je te laisse résoudre le système (pour $\displaystyle R=1$ sans perte de généralité) : $\displaystyle \{x^2+y^2+z^2=1,x z^2=y^2\}$ ou faire de la géométrie pour caractériser le lieu B-).
On peut éliminer une des variables $x,y,z$ de ce système et obtenir trois vues... et avec un peu d'imagination, on visualise le lieu, mais le mieux serait de tracer avec un logiciel.

Bizarre, avec la paramétrisation donnée par YvesM, on trouve $$x^2+y^2+z^2= R^2(\cos^4\alpha+\sin^4\alpha+\sin^2\alpha)=R^2(1+2\sin^4\alpha-\sin ^2\alpha)\;.$$
Hum, ça n'a pas l'air d'être dans la sphère de rayon $R$.

PS. Tiens, Pappus est de retour !

C'est la fenêtre de Viviani.
https://www.mathcurve.com/courbes3d/viviani/viviani.shtml
https://fr.wikipedia.org/wiki/Fenêtre_de_Viviani

C'est bien clair avec la paramétrisation correcte :
$$x=\frac12+\frac12\cos (2\alpha)\quad y =\frac12 \sin(2\alpha)\quad z=\sin(\alpha)\;.$$

Bonjour,

Une animation avec la tangente au point courant $m,m_1'$:

Viviani

Les lignes de construction pour l'intersection des deux plans tangents ont été supprimées pour plus de clarté.

Bonsoir pappus,

Ta construction est plus propre et plus concise que la mienne.

J'ai compris ceci:

- Le plan tangent à la sphère en $m,m'$ est défini par l'horizontale $(h,h')$ et la frontale $(f,f')$ sécantes en ce point avec $h\perp (om)$ et $f'\perp (o'm')$.

- On détermine une autre horizontale frontale de ce plan passant par un point quelconque $u,u'$ de $(h,h')$ (projection frontale parallèle à $f'$).

- Le plan vertical tangent en $(m,m')$ au cylindre recoupe cette horizontale frontale en $t,t'$.

- La droite $(tm,t'm')$ est la tangente cherchée intersection des deux plans.

Merci pour cette épure.

Bonjour pappus,

pappus a écrit:

Je fais surtout ces épures par nostalgie!

Moi, non! Je n'ai pas connu la descriptive au lycée pas plus qu'en prépa. Je dois être un peu plus jeune que toi.
Je m'y suis mis sur le tard en autodidacte et j'y prends beaucoup de plaisir encore aujourd'hui d'autant plus qu'associée à un logiciel de géométrie dynamique, la descriptive fait des petits miracles...

Tout de même: "le sale boulot des taupins d'autrefois" Tu y vas un peu fort!

Amicalement.
Lake.

Sans parler du tire-ligne qui bave !