Absurdité et complexité sont les deux mamelles de l'administration.
Un lieu géométrique
dans Géométrie
Bonjour
Soient $A$, $B$ deux points fixes du plan.
Quel est le lieu des points $M$ tels que $MA.MB = k^2$ ?
Au temps pour moi, ne tenez pas compte de ce message !
A+
Soient $A$, $B$ deux points fixes du plan.
Quel est le lieu des points $M$ tels que $MA.MB = k^2$ ?
Au temps pour moi, ne tenez pas compte de ce message !
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Réponses
https://www.mathcurve.com/courbes2d/cassini/cassini.shtml
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ovale_de_Cassini
Par exemple, pour $k=\frac{AB}2$ on trouve la lemniscate de Bernoulli dont les taupins connaissaient jadis les belles propriétés, qui leur sont désormais interdites.
Quand $k$ devient grand, $k \ge AB \frac { \sqrt 2}2$, l'ovale prend enfin la forme ovale, comme dit Ferréol, autrement dit dans ce cas, l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA·MB \le k^2$ est convexe. Quelqu'un saurait-il le prouver ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Soient $A$ et $B$ deux points distincts dans le plan euclidien.
Démontrer que si $k \ge AB \frac { \sqrt 2}2$ alors l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA·MB \le k^2$ est convexe.
Démontrer que si $0 \le k \le \frac{AB}2 $ alors l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MA·MB \le k^2$ et $MA \le MB $ est convexe.
alors la courbe délimite un ensemble convexe ?
Une planète P tourne autour de son soleil S sur une orbite circulaire de rayon $r_1$ avec une période $T_1$
(le référentiel est lié à S).
Une lune L tourne autour de P sur une orbite circulaire de rayon $r_2$ avec une période $T_2$
(le référentiel est lié à P).
Les deux orbites sont coplanaires.
Se peut-ce que la courbure de la trajectoire de L relativement à S ne prenne pas de valeurs négatives ?
Si $\overrightarrow{OM}=F(\theta)=r(\theta)u(\theta)$ avec $r(\theta)\neq0$ on a $F'(\theta)=r'u+rv$ et $F''(\theta)=(r''-r)u+2r'v$.
Un vecteur directement orthogonal à $F'$ est $\overrightarrow{n}=-ru+r'v$.
Comme $\overrightarrow{n}.(-F)=r^2>0$ la concavité est dirigée vers $O$ si $\overrightarrow{n}.F''>0$, c'est-à-dire si $r^2+2r'^2-rr''>0$ qui est équivalent à $\dfrac1r\left(\dfrac1r+\left(\dfrac1r\right)''\right)>0$.
Mais ceci étant connu, j'avais la même question que JLT.
Je n'ai pas réussi à trouver le texte cité par P.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
$x=r_1 \cos \alpha t+r_2 \cos \theta t$, avec $\alpha=\frac{2\pi}{T_1}$
$x=r_1 \sin \alpha t+r_2 \sin \theta t$, avec $\theta=\frac{2\pi}{T_2}$
t réel.
signe de la courbure $sgn(x'y"-y'x")$
$sgn(x'y"-y'x")=\alpha^3 r_1^2+\theta^3 r_2^2-r_1 r_2\alpha \theta (\alpha + \theta)\cos(\alpha + \theta)t$
elle est négative si l'équation en $t$ a une solution au moins
$\alpha^3 r_1^2+\theta^3 r_2^2-r_1 r_2\alpha \theta (\alpha + \theta)\cos(\alpha + \theta)t \le0$
ou
$T_2^3r_1^2+T_1^3r_2^2-r_1r_2T_1T_2(T_1+T_2)\le 0$
ou
$(T_2^2r_1-T_1^2r_2)(T_2r_1-T_1r_2)\le 0$
Pour que la trajectoire de L n'ait pas de courbure négative il faut que
$(T_2^2r_1-T_1^2r_2)(T_2r_1-T_1r_2)> 0$
est-ce cela ?
Merci