Calculer BD
Réponses
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1) Calculer $AC$ avec Pythagore.
2) Calculer $AD$ sachant que $ADC$ est rectangle isocèle (je ne sais pas si on peut déduire ça du programme du collège).
3) Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $(BD)$. Calculer $BH$ sachant que $AHB$ est rectangle isocèle.
4) Calculer $HD$ en utilisant Pythagore dans $AHD$.
5) Conclure. -
On est embêté depuis les nouveaux programmes. Je donne en vrac, sans hiérarchie, des éléments :
a) le triangle rectangle inscrit dans le demi-cercle n'existe plus : très bizarre, il n'en est plus fait mention explicitement mais une exemple, sur une figure, montre cet "exercice possible". Ce n'est plus exigible comme ils aiment dire. Mais bon ça peut quand même faire l'objet d'un théorème du cours. Cela se démontre en 5e, a priori.
b) l'angle inscrit a disparu
c) on a gardé la somme des mesures d'un triangle (180°)
d) Pythagore est encore là
e) la bissectrice d'un angle est à la limite (edit : voir plus bas, c'est triste...), mais là encore, une définition ou bien un codage en plus dans la figure ne rendent pas l'exercice moins sympathique
f) les triangles semblables sont au programme (plutôt 3e) -
Merci JLT
-
Bonjour
En tout cas la manière la plus rapide et la plus directe d'obtenir $BD$ est d'appliquer le théorème de Ptolémée dont on ne peut dire qu'on l'enseigne au collège. D'ailleurs cela m'étonnerait qu'il soit encore possible de le démontrer!
Autant le qualifier d'axiome comme ceux de Thalès et de Pythagore.
Je subodore quand même une transposition trigonométrique de cet axiome de Ptolémée.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
C'est le théoréme que j'ai utilisé Pappus ,c'est pour ça que j'ai posé la question .
Cordialement -
Bravo Xilyas!
Je ne pense pas que cet exercice puisse être posé au niveau Collège à moins de le détailler comme l'a fait JLT.
Peut-être peut-on le poser brut de décoffrage au niveau lycée, l'idée étant par exemple de calculer $BD$ dans le triangle $ABD$ au moyen de la loi des cosinus, quitte à utiliser $\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}$ et un peu de trigonométrie.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bonjour
Une autre piste valable à partir du moment où on dispose des repères cartésiens inventés par Descartes en $1637$, c'est dire le chemin parcouru par notre enseignement dans l'autre sens en $2018$!
On choisit un repère orthonormé d'origine $B\ $ dont les axes sont portés par les droites $BA$ et $BC$ ou même pour les plus téméraires le repère $\{B,(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})\}$ et on calcule les coordonnées de $D\ $ dans ce repère.
Cela ne mange pas de pain et fait oublier un peu la canicule!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Si E est le point d'intersection des diagonales
Je crois qu'n peut calculer les longueurs AE et CE par le théoréme de la bissectrice
Et ensuite utiliser les tringles semblables CDE et ABE et les triangles CBE ET ADE
Cordialement -
Bonjour
Allons y gaiement.
$A(4,0)$ et $C(0,2)$
Médiatrice de $AC$: $(x-4)^2+y^2=x^2+(y-2)^2$ ou encore: $2x-y=3$, j'ai déjà mal à la tête!
Equation de $BD$, il semblerait que ce soit la bissectrice dont le statut au collège d'après Dom ne me semble pas très clair: $y=x$, c'est quand même un peu fort de café!
Coordonnés de $D\ $: $x=y=3$, il faut résoudre un système linéaire, vite un doliprane!
Longueur de $BD$: $3\sqrt 2$, encore faut-il connaître l'axiome de Pythagore!
Pauvre René qui s'est décarcassé pour pas grand chose.
S'il avait su, il ne se serait pas donné tant de mal!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
C'est assez tragique :
Dans les programmes officiels Cycle 3 (CM1-CM2-6e) et Cycle 4 (5e-4e-3e) on ne trouve même pas le terme "bissectrice". J'espère m'être trompé...
Voir ici : https://www.ac-strasbourg.fr/pedagogie/mathematiques/college/programmes/
La recherche de la chaîne de caractère "trice" renvoie deux mots : calculatrice et médiatrice.
On trouve quand même ce passage (c'est moi qui met en gras) : La pratique des mathématiques, en particulier les activités de recherche, amène les élèves à travailler sur des notions ou des objets mathématiques dont la maîtrise n’est pas attendue en fn de troisième (par exemple, irrationalité de certains nombres, caractéristiques de dispersion d’une série statistique autres que l’étendue, modélisation de phénomènes aléatoires, calculs de distances astronomiques, droites remarquables dans un triangle, travail sur les puissances et capacité de stockage) ; c’est aussi l’occasion d’enrichir leur culture scientifque.
En fouillant dans les documents d'accompagnement (toujours sur la même page), on ne trouve pas non plus le terme "bissectrice".
Tout de même, mais on ne va pas ouvrir le Champagne non plus, on trouve le passage suivant pour le Cycle 4 :
[...] D’autres droites remarquables du triangle peuvent être envisagées en situation, mais leur connaissance et leurs propriétés ne sont pas un attendu de fin de cycle. [...]
J'avais cru que le terme y était encore : pas pour les triangles mais au moins dans le cadre de la symétrie axiale...
[small]Pour ceux qui ont un peu de courage : un pdf qui ne concerne pas "la bissectrice" mais qui est une sorte d'enquête sur les mathématiques en fin de collège. Je n'ai pas eu le courage de lire une page entière :http://cache.media.education.gouv.fr/file/209/89/8/depp-dossier-2017-209-cedre-2014-mathematiques-fin-college_847898.pdf[/small] -
Bonsoir,
Soit D' diamétralement opposé à D et soit I le point commun à BD et CD'.
1. BD coupe CA au tiers de sa longueur (th. de la bissectrice) et donc CO aussi. Dès lors I est le milieu de CD'...
2. les triangles colorés sont semblables (angles égaux, même sans propriété de l'angle inscrit) et on donc : $\dfrac{DD'}{CB}=$ $\dfrac{ID'}{IB} =$ $\dfrac{DI}{CI}$,
3. d'après le calcul de AC, il vient : $\sqrt{5}=$ $\dfrac{\sqrt{5}/\sqrt{2}}{IB} =$ $\dfrac{DI}{\sqrt{5}/\sqrt{2}}$,
et les valeurs de ID et IB en découlent.
Cordialement,
C.N. -
Quelqu'un peut m'expliquer comment JLT a déduit de la figure de xilyas que le triangle $ADC$ est isocèle rectangle ???
-
Avec des angles.
On pose, par exemple, $\widehat {BAC}=\alpha$.
Puis on déduit quelques autres grâce à l'angle droit, partagé en deux par sa bissectrice... -
Si on connaît le théorème de l'angle inscrit, on peut dire que $\widehat{CAD}=\widehat{CBD}=45^\circ$ et $\widehat{DCA}=\widehat{DBA}=45^\circ$.
Sinon on peut faire une chasse aux angles comme dans la figure ci-dessous mais ça revient à redémontrer le théorème de l'angle inscrit. -
Bonjour,
La question initiale était : peut-on faire de cet énoncé un exercice de collège ?
Dans la mesure où la propriété de la bissectrice coupant le côté opposé est facile à démontrer au collège, le reste découle essentiellement du fait que le triangle ABC est tel que tanA = 1/2 .
Pour voir que le triangle ADC est rectangle isocèle, on peut procéder comme suit : on trace le diamètre perpendiculaire à AC, qui coupe AB et CB en J et K ; compte tenu de la valeur de la tangente, J est le milieu OD' et D' est le milieu OK...
Donc BD' est la bissectrice de KBJ et la bissectrice extérieure de KBJ coupe bien OD' en D...
cordialement
C.N. -
Catherine Nadault,
On peut certainement, et je crois que c'est déjà assez difficile* comme cela (en 2018), les conduire à démontrer la propriété de la bissectrice sur le cas particulier de la figure. Je crains d'ailleurs des difficultés à manipuler des égalités de quotients.
*Peut-être que je m'y prends mal : il me semble qu'on utilise Thalès dans une forme moins académique (ce ne sont pas les quotients habituels), et déjà, ces manipulations (tout à fait au programme !) sont mal maîtrisées.
Cela dit, cet exercice est très pertinent pour élever le niveau des élèves qui s'ennuient en classe.
De nos jours les profs doivent posséder cette banque d'exercices pour les plus rapides et les plus intéressés. -
la propriété de la bissectrice n'a rien à voir avec Thalès.
C.N. -
ce n'est pas utile : il suffit de calculer les aires des deux sous-triangles de deux façons...
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Ho oui, pardon. En effet, c'est assez limpide.
D'ailleurs, c'est avec ce genre de méthodes (aires des triangles) que l'on peut démontrer Thalès (au collège).
Mea Culpa ;-) -
Bonjour
Autre activité possible: quadriller et regarder.
En ce qui concerne les bissectrices et les théorèmes précisant les segments qu'elles découpent sur le côté opposé, je n'ai appris que la méthode utilisant l'axiome de Thalès (voir le Lebossé-Hémery).
Si on ne l'applique pas à ce moment, on ne l'applique jamais!
Quant aux méthodes employant les aires, elles sont viciées dès le départ par tout ce qu'on doit admettre sur la théorie de la mesure!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Juste pour faire le malin avec un autre quadrillage, dont j'imagine que personne ne parle à cause de son style "Je donne la réponse sans aider à la justifier"...
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Ton quadrillage est bien celui des gros carrés dans la figure de [small]p[/small]appus.
Edit : et oui, cher [small]p[/small]appus mais au collège du 21e siècle, c'est l'ami Thalès qui est démontré...avec les aires. L'expression utilisant l'animal diabolique prend tout son sens : le serpent se mord la queue. -
pappus a écrit:Quant aux méthodes employant les aires, elles sont viciées dès le départ par tout ce qu'on doit admettre sur la théorie de la mesure !
... tristesse -
J'ai pensé à autre chose : les programmes de 2016 ont ajouté les "triangles égaux" dont les propriétés ("reconaître") sont admises en 5e (il me semble que pour les démontrer on a besoin de trigonométrie ou au moins de Pythagore, c'est-à-dire, en gros, d'une "bonne 4e").
Voici l'extrait dont je souligne un passage : Les cas d’égalité des triangles sont admis dès la 5e, essentiellement pour justifier qu’un triangle peut être construit connaissant certains de ses éléments métriques. Leur emploi dans certaines démonstrations doit demeurer très modeste.
J'ai du mal à savoir si les professeurs s'attardent sur ces caractérisations des triangles égaux.
Cependant, cela peut servir à démontrer des choses qui étaient plus compliquées avant.
Je n'ai pas encore le schéma qui permettrait de s'en servir avec pertinence dans cet exercice. -
Mon cher Dom
Je veux bien croire qu'on puisse démontrer l'axiome de Thalès avec la théorie des aires mais comment exposer la théorie des aires au Collège?
Autant admettre l'axiome de Thalès tout de suite, c'est quand même moins fatigant, d'autant plus qu'on ne dispose même pas d'une construction du corps des réels pour pouvoir l'énoncer correctement!
Au point où est tombé l'enseignement de la géométrie, cela n'a plus aucune importance et on peut démontrer n'importe quoi d'indéfinissable à partir de n'importe quoi!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
"Et oui", dirais-je...
En effet, on n'expose pas de théorie des aires.
On définit "aire de rectangle" puis on en déduit celles des triangles et des polygones.
Puis, de manière implicite, on a l'aire des réunions disjointes, des exhaustions etc.
"Et oui", c'est plus que bancal...
Cela dit, à quel âge faudrait-il définir l'ensemble $\mathbb N$, s'il faut construire $\mathbb R$ ensuite ?
Je n'ai pas de réponse. -
Bonjour
Voici comment on montrait autrefois la propriété des bissectrices.
D'après l'axiome de Thalès, $\dfrac{AB'}{AC}=\dfrac{UB}{UC}$
et puisque $AB=AB'$, on a:
$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{UB}{UC}$
C'est d'une simplicité biblique mais puisque d'après Dom, même la bissectrice semble avoir disparu de nos tablettes, je comprends que cette démonstration soit tombée dans les oubliettes!
Amicalement
[small]p[/small]appus -
pappus
Quant aux méthodes employant les aires, elles sont viciées dès le départ par tout ce qu'on doit admettre sur la théorie de la mesure !
Catherine Nadault
... tristesse
Bonsoir,
J'aimerais expliquer mon message précédent et le mot de "tristesse" que j'ai utilisé à propos de la citation de pappus... Il ne s'agissait pas de me lamenter sur le fait que des démonstrations soient "viciées" au départ, mais simplement sur l'ânerie constituée par la phrase citée... à laquelle il convient désormais ajouter la suivante :pappus a écrit:comment exposer la théorie des aires au Collège?
Lebossé et Hémery introduisaient-ils donc les aires de triangles en 5ème seulement après avoir développé la théorie de la mesure ? Parlaient-ils des opérations sur les nombres après la théorie des entiers ou des relatifs ? Attendaient-ils d'avoir construit les réels pour parler de Thalès ?
Il est triste de voir des professionnels ne pas savoir faire appel à d'autres propriétés que le théorème de Ptolémée ou la géométrie analytique pour résoudre un problème de collège. Il est triste de voir la mauvaise foi aller jusqu'à prétendre que la "théorie de la mesure" est indispensable pour démontrer que, dans un triangle, le produit d'une hauteur et du côté associé donne toujours le même résultat !
Mais il est surtout triste de ne pas se rendre compte que, pour un élève de collège (à qui on a légitimement appris - du moins on veut le croire - à calculer l'aire d'un triangle), découvrir l'idée que l'on obtient le même résultat lorsque l'on change opportunément le point de vue, peut avoir d'attrayant...
Que l'on me pardonne, mais ce sont là, pour moi, des raisons de tristesse aussi éprouvantes que les perpétuelles ratiocinations sur la baisse du niveau ou la décadence des programmes ! Cependant je n'interviendrais pas ici, sur ce point précis, si je ne trouvais pas particulièrement dramatique le fait de s'échiner, sur un phorum fréquenté par des professeurs, à défendre l'idée que les maths de collège soient devenues inexistantes sous le prétexte ridicule que l'on utilise des notions sans en avoir détaillé les "fondements"...
Cordialement
Catherine Nadault -
Bonsoir
Je ne trouve pas que ce problème, donné sous sa forme brute, soit un problème de collège quand on voit les astuces, introuvables par un collégien mais trouvées par JLT pour le disséquer.
Par contre on peut le proposer à tous les niveaux du Secondaire et même universitaires pour voir comment des collégiens puis des lycéens et des étudiants se débrouilleraient.
Il est clair que l'utilisation du théorème de Ptolémée est hors de propos malgré sa beauté mais personnellement je trouve que la méthode analytique est la plus simple et la plus rapide.
Petite question sournoise.
Comment faire pour démonter élémentairement sans passer par la soi-disant théorie des aires, avec les notations standard, les relations : $$ah_a=bh_b=ch_c$$ dans un triangle $ABC$.
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Triangles semblables ?
-
Comment faire pour démonter élémentairement sans passer par la soi-disant théorie des aires, avec les notations standard, les relations : aha=bhb=chc
ab sin'C) = aha = bha -
Merci JLT
On en revient toujours à la théorie de la similitude disparue de nos programmes avec laquelle on tentait autrefois de montrer l'axiome de Pythagore
Heureusement il nous reste la bienheureuse théorie des aires pour éviter la catastrophe jusqu'à ce qu'elle sombre, elle aussi dans l'oubli, ce qui ne saurait tarder!
On savait, disons au niveau de la Troisième, que ces deux triangles étaient semblables mais que pouvait-on dire au niveau Terminale de l'époque sur la nature de cette similitude?
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Bon, je ne sais pas de quelle époque préhistorique tu parles, mais il est probable qu'on savait que la similitude était indirecte, composée d'une symétrie et d'une homothétie ?
-
Merci Catherine
Je précise:
$$ah_a=ab\sin(C)=\dfrac{abc}{2R}= bh_b=ch_c =(2S)$$
Ce qui conduit à la formule archi-connue:
$$abc=4RS$$
Amicalement
[small]p[/small]appus -
Merci JLT
C'est exact avec la précision que l'homothétie est de rapport positif et que le produit doit être commutatif pour tomber sur la décomposition canonique
Quelle est cette homothétie et cette symétrie?
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Cette époque n'est pas si antédiluvienne que cela puisque nos agrégatifs actuels ont en principe le groupe des similitudes planes à se farcir même s'ils n'auront dans leur carrière aucune occasion de l'enseigner! -
Les agrégatifs actuels ne perdent plus tellement de temps sur la géométrie, sauf rares exceptions. Les isométries, ils connaissent encore un peu, mais ils n'utilisent pas beaucoup les similitudes, et encore moins les similitudes indirectes.
La similitude indirecte qui envoie $ABB'$ sur $ACC'$ a évidemment pour axe la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{A}$. L'homothétie est de centre $A$ (le point fixe de la similitude) et de rapport $\dfrac{AC}{AB}$.
À propos de similitudes indirectes, j'ai retrouvé une ancienne discussion ici, j'ai rétabli les figures :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,619404
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