Volume pyramide: quelle origine formule ?
Bonjour, désolé si la question est jugée bête, mais
comment a-t-on découvert mathématiquement que pour calculer le volume d'une pyramide/cône, le diviseur était "3" ?
Je ne cherche pas la solution pour un questionnaire ou un contrôle, mais c'est en jetant un oeil sur des formules oubliées depuis trop longtemps (formation lettres) que je me suis soudain posé la question.
comment a-t-on découvert mathématiquement que pour calculer le volume d'une pyramide/cône, le diviseur était "3" ?
Je ne cherche pas la solution pour un questionnaire ou un contrôle, mais c'est en jetant un oeil sur des formules oubliées depuis trop longtemps (formation lettres) que je me suis soudain posé la question.
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Réponses
Je ne garantis pas que ce découpage soit historiquement l'origine de la formule du volume d'un cône.en fonction de l'aire de sa base et de sa hauteur.
Une idée similaire. D'abord à deux dimensions pour le triangle. On cherche le coefficient de l'aire du triangle : coeffcient $\times$ base $\times$ hauteur. Soit un carré de côté $a>0$ que l'on coupe selon les diagonales en $4$ triangles. Leur hauteur est $a/2$, leur base $a$ et donc on trouve, pour le coefficient $x$, l'équation $ a\times a = 4 \times x \times a \times a/2$ et donc $x=1/2.$
Puis à trois dimensions pour les pyramides. On découpe le cube en $6$ pyramides de base $a \times a$ et de hauteur $a/2$ et donc $a\times a\times a=6 \times x \times (a \times a) \times a/2$ et donc $x=1/3.$
-- Schnoebelen, Philippe
Il est très probable que la formule ait été connue bien avant les grecs (classiques), car les ingénieurs soudanais (*) puis égyptiens avaient besoin de savoir le volume de matériaux de leurs pyramides à base carrée. Comme ils commençaient avec des pyramides à degrés, ils ont probablement remarqué le lien.
Cordialement
(*) je prends ce nom géographique car je n'ai plus en tête le nom de ce peuple bâtisseur de pyramides à degrés qui inspira la haute Égypte.
Sans doute ce diviseur a-t-il été trouvé expérimentalement mais du point de vue mathématique sa raison d'être est qu'une primitive de $x\mapsto x^2$ est $x\mapsto \dfrac{x^3}3$.
Il faudrait relire les Lebossé-Hémery des classes de Première d'autrefois pour voir comment ils s'en tiraient !
Amicalement
[small]p[/small]appus
L'histoire des mathématiques ne commence ni ne finit avec les Lebossé-Hémery, pourquoi tant de nostalgie, pappus ?
Je me laisse mieux convaincre par l'argument de GaBuZoMeu (assemblage de trois pyramides pour faire un cube).
C'est d'ailleurs l'argument qui était mis en avant pour faire avaler la formule du volume d des pyramides aux collégiens au début de ce siècle (je veux parler du XXIe, pappus).
Cet assemblage constituait une activité sympathoche pour les collégiens.
On peut aussi remarquer que le cube est l'assemblage de 6 pyramides de base une face et de hauteur $\frac 1 2$arête.
Ensuite, il est plus difficile de faire comprendre à des collégiens que les affinités ou transvections n'altèrent pas la formule…
Mais ils admettent bien volontiers que si l'on coupe la base carrée en 2 triangles, la formule reste vraie pour les deux tétraèdres qui en résultent.et tous les autres tétraèdres.
ensuite, toute pyramide de base polygonale peut être débitée en tétraèdres par triangulation de la base
Et on pourra passer à la limite pour le volume des cônes.
Amicalement. jacquot
Moi je considère un tétraèdre à angle droit (une $i$, $j$, $k$ comme les axes des coordonées) et tu démontre ta formule.
Puis tu découpe un tétraèdre quelconque en (trois) tétraèdres droit et tu démontres ta formule.
Tu vas ainsi pour tout pyramide en complétant dans son prisme et enfin à la limite tu obtiens le cône.
Merci.
Je n'ai pas spécialement la nostalgie du Lebossé-Hémery et je possède d'ailleurs la plupart des livres d'enseignement de cette époque depuis la Sixième jusqu'à la Terminale mais c'est le Lebossé-Hémery le plus facile à retrouver!
Curieusement, on faisait de la géométrie plane en Seconde et en Terminale et ce n'était qu'en Première qu'on faisait de la géométrie dans l'espace avec en particulier le calcul du volume de la pyramide triangulaire.
Bien sûr, on suivait la méthode de GaBuZoMeu en découpant le prisme triangulaire en trois pyramides triangulaires mais il fallait montrer que ces trois pyramides avaient même volume et je crois que le passage à la limite suivi par le Lebossè-Hémery pour le prouver devait passer au dessus la tête de la plupart des bacheliers de l'époque dans la mesure où ils n'avaient aucune connaissance en topologie.
Autant admettre de suite la formule intuitive
$$V=\int_0^1Sx^2hdx=\dfrac 13Sh$$
mais l'intégration n'était pas encore au programme du Bacccalauréat.
Maintenant qu'elle l'est aujourd'hui, je serais curieux de savoir ce qu'on en fait, mis à part le plaisir douteux d'ânonner un quelconque tableau de primitives!
Amicalement
[small]p[/small]appus