Une construction à la règle et au compas

pappus : personnellement, je ne sais pas trop comment on enseignait les mathématiques avant, mais un truc que je remarque souvent, c'est que les méthodes modernes pour enseigner (ou pour préparer les enseignants au CAPES...) ne me conviennent pas. On fait trop de formules et pas assez de dessins, ça détruit l'intuition. Je préfère des démonstrations qui commencent par un dessin (pour donner une intuition) et qui finissent par des formules (pour confirmer l'intuition avec de l'abstrait). C'est mieux que d'enchaîner les formules sans dessin, parce que les gens moins doués d'intuition mathématique n'arrivent pas à suivre s'ils n'ont rien de "concret" à quoi se rattacher.

Et surtout à l'école (jusqu'au bac en fait) la majorité des élèves n'ont pas d'intuition mathématique particulière.

Je n'ai encore rien dit sur ton dessin parce que je ne l'ai pas encore compris :-D

Super, t'es vachement motivant quand tu veux.

Contrairement au dessin de fm_31 que j'ai compris en 10 secondes, je ne vois pas du tout ce qui rend évident que $\widehat{ABK} = \widehat{CBD}$ sur le tien.

J'apprécierais beaucoup si tu pouvais être moins condescendant. Tu m'as donné un dessin, pas d'explication, je considère ça normal que j'aie besoin de temps pour déchiffrer le dessin. J'ai dû faire d'autres choses aujourd'hui que de regarder ton dessin, et je n'ai pas encore compris. J'ai un master de maths, donc j'estime avoir le droit qu'on ne me parle pas comme au dernier des crétins. Merci pour ta compréhension.

Oui je connais le théorème de l'angle inscrit, l'autre jour (pour comprendre le fil "calculer BD") j'ai dû m'en faire une piqûre de rappel parce que ça faisait plus de 10 ans qu'il ne m'avait pas servi. Mais je ne vois pas encore à quel(s) arc(s) tu veux que je l'applique.

Et je ne connais aucune autre notation pour les angles géométriques.


EDIT 1: L'angle $\widehat{BAK}$ et l'angle $\widehat{BDC}$ interceptent le même arc $BD$, donc $\widehat{BAK} = \widehat{BDC}$. Un début.


EDIT 2:
i) L'angle $\widehat{CAD}$ et l'angle $\widehat{CBD}$ interceptent le même arc $CD$ donc $\widehat{CAD} = \widehat{CBD}$.
ii) Idem $\widehat{BAD} = \widehat{BED}$ car ils interceptent le même arc $BD$.
iii) $\widehat{BED} = \widehat{CKB}$ car on a une configuration de Thalès. Donc $\widehat{CKB} = \widehat{BAD}$.
iv) $\widehat{AKB} = \pi - \widehat{CKB}$
v) $\widehat{BAD} = \widehat{BAK} + \widehat{CAD}$ ie $\widehat{BAK} = \widehat{BAD} - \widehat{CAD}$

Je sais très bien que les lacunes dans ma formation ne sont pas de ma faute, sinon j'aurais pas engueulé pappus sur sa façon de me parler. Je me suis justement inscrit pour apprendre des choses, et c'est pas motivant quand quelqu'un vous parle comme ça.


Ta propriété (1) ne m'a pas l'air aberrante, cela dit je ne saurais pas comment on démontre ça.

EDIT : je pense qu'on peut montrer que si deux arcs de cercle sont de même longueur, alors il existe une rotation (de centre : celui du cercle) qui envoie l'un sur l'autre, appliquer le théorème de l'angle inscrit, puis utiliser qu'une rotation conserve les angles.

Quand à la (2), je n'ai jamais entendu parler de ça. Jamais. Et là encore je ne vois pas comment montrer ça.

"le point $s(D)$ appartient au cercle"... pourquoi ?

La médiatrice d'une corde passe par le centre du cercle, ça me revient, mais je ne saurais plus démontrer que c'est vrai. Hmmm...

Oui ! Je ne suis pas concentré...

Je remets dans l'ordre.

La médiatrice $\Delta$ de $[AC]$ passe par le centre $O$ du cercle (car $A$ et $C$ sont équidistants de $O$ par définition d'un cercle). Soit $s$ la symétrie d'axe $\Delta$, $O$ est sur l'axe de symétrie donc le cercle est invariant par $s$, en particulier le point $s(D)$ est sur le cercle.

Je suppose que $D$ n'est pas sur $\Delta$.

$(Ds(D))$ est perpendiculaire à $\Delta$ donc parallèle à $(AC)$. Donc $(Ds(D)) = (DE)$ car ce sont deux droites parallèles avec un point commun. On a forcément $s(D) = E$ car $s(D) \neq D$ et $E$ est le seul autre point de $(DE)$ qui est sur le cercle.

Ton argument sur les angles montre que le trapèze $ACDE$ est isocèle. D'accord.

Remarque : dans le cas ou $D$ est carrément sur $\Delta$, on ne paut pas raisonner comme ça mais je pense qu'on peut quand même résoudre le problème.

pappus,

J'ai présenté le CAPES et l'Agrégation pour la première fois cette année, et pour diverses raisons personnelles qui sont arrivées au mauvais moment, j'étais dans un état tellement mauvais aux oraux que j'ai raté les deux concours. De très très très peu pour le CAPES (un demi-point à un oral aurait suffi, alors que je n'avais littéralement pas préparé le concours du tout, et en regardant mes résultats aux écrits je dirais que ce sont mes connaissances sur les "valeurs de la République" sur lesquelles je ne m'étais pas du tout renseigné qui m'ont fait défaut, et pas les maths). Mais bon, je l'aurai l'année prochaine. Là n'est pas le sujet de toute façon.

Je suis entièrement capable de faire une rédaction très propre de tout ce qu'on a dit ici, mais j'ai beaucoup de choses à faire dans ma vie réelle à l'extérieur de ce forum (d'ailleurs, je traîne sur tous les sous-forums du forum pour apprendre des choses dans tous les aspects des maths, pas seulement sur les sous-forums concernant un aspect des maths dans lequel je me débrouille très bien pour montrer à tout le monde tout ce que je sais faire) alors je n'avais pas envie de me prendre la tête avec tous les détails. Pourquoi le point $K$ est sur $[AC]$ je l'avais bien compris, là n'était jamais la question. Je voulais savoir comment on construit un point $K$ (sur $[AC]$, certes) de sorte à ce que les deux angles dont il est question dans la preuve sur Wikipédia sont effectivement égaux. En rétrospective, je suis conscient que je n'avais pas posé ma question exactement comme ça. Mais en tout cas, pour comprendre ça, je maintiens que la figure de fm_31 me l'a fait comprendre beaucoup, mais alors beaucoup plus rapidement que la tienne.

Cela dit j'apprécie d'avoir différentes preuves du même résultat, ça me fait travailler plus de choses. Il ne me reste plus qu'à reprendre n'importe laquelle des constructions du point $K$ (de sorte à ce qu'il donne les deux angles égaux dont on a besoin) et à la rédiger proprement, ce que je ferai quand j'aurai un peu de temps.

Ne dis pas ça, chacun a une façon différente de conceptualiser les objets abstraits et par conséquent, une explication peut paraitre limpide pour une personne et complètement tordue pour une autre même si elles ont "le même niveau". C'est justement ça qui est intéressant dans la pédagogie en maths, je trouve. Trouver différentes manières d'expliquer la même chose pour que chacun finisse par comprendre. Histoire de dire, certes, la démonstration compte, donc s'il existe plusieurs démonstrations d'un même résultat, c'est bien de les comprendre toutes, mais l'essentiel c'est d'en comprendre une pour être convaincu que le résultat est vrai et commencer à s'en servir.

Mais je crois que j'ai fini par comprendre pourquoi la figure de fm_31 te perturbe : $E$ est l'intersection de $(AB)$ et d'un cercle centre $B$ de rayon $BD$ donc $BE = BD$. $F$ est l'intersection d'un cercle de centre $E$ et de rayon $CD$ et d'un cercle de centre $B$ et de rayon $BC$ donc $EF=CD$ d'une part et $BF = BC$ d'autre part. Donc les triangles $BCD$ et $BEF$ sont semblables (ce qui donne presque l'égalité des angles que je voulais). Le dernier truc c'est de montrer que $(EF)$ et $(AC)$ sont parallèles pour qu'on puisse construire $K$ (et s'assurer qu'il est sur $(AC)$, justement) avec le théorème de Thalès et avoir la bonne égalité d'angles, et je suis d'accord que ça a l'air évident sur la figure mais que je n'ai pas d'argument. J'ai essayé dans l'autre sens (commencer par construire la parallèle) mais dans ce cas il n'est pas évident que le point $F$ est bien l'intersection des deux cercles. Hmmm... j'ai réfléchi trop vite, on dirait. Tu aurais dû le dire plus tôt :-D

Mon but, à ce stade, est de toutes les comprendre. J'ai tous les arguments pour comprendre celle de pappus, je croyais avoir compris la tienne, mais comme je viens de le dire, il me manque en fait un argument. Celle de soland, j'avouerais ne pas encore avoir pris le temps d'y réfléchir, mais ça va venir.

EDIT : fm_31, du coup, le fait que les deux droites sont parallèles, dans ta construction, comment tu le montres ?

Alors, si : quand quelqu'un ne comprend pas pourquoi un truc est vrai, il est nécessaire de le démontrer :-D. Surtout si le quelqu'un c'est moi :-D

Merci :-)

Je sais, mais je suis taquin :-D