Espace vectorialisé d'un espace affine.

Non, $M+\alpha M'$ n'a pas de sens dans un espace affine.
Si tu penses que ça en a un, explique ce que ça veut dire.

Si on veut lui donner un sens, il faut passer à l'enveloppe vectorielle de l'espace affine.

Bonjour
C'est simplement la vectorialisation de l'espace affine en un de ses points qui n'a rien avoir avec l'enveloppe vectorielle de GaBuZoMeu.
J'aime bien cette notation d'enveloppe!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Poli12
Je me doutais bien que $\mathcal E_{1O}$ était le vectorialisé de $\mathcal E_1$ en $O\in \mathcal E_1$ mais je voulais te le faire dire!
Quant à ta seconde phrase, je persiste à ne pas la comprendre sans l'utilisation d'un diagramme rectangulaire commutatif!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher Poli12
Ce n'est qu'un simple problème de notations dont tu es la victime et dont tu aurais pu te sortir tout seul si tu avais eu le courage de faire toi même les bons étiquetages.
Malheureusement je ne sais pas faire les rectangles commutatifs en $\LaTeX$ malgré qu'on me l'ait expliqué cent fois mais à chaque fois j'oublie à cause de mon grand âge!
Je vais t'expliquer la situation pas à pas et ta punition sera de m'exhiber en $\LaTeX$ ce fameux rectangle
Donc au départ on a une honnête application affine $f:\mathcal E\longmapsto \mathcal E'$.
On vectorialise $\mathcal E$ en un point quelconque $O\in\mathcal E$.
Par contre on ne vectorialise pas $\mathcal E'$ n'importe où mais on le fait au point $O'=f(O)$.
Je note $E$ l'espace vectoriel associé à $\mathcal E$ et $E'$ l'epace vectoriel associé à $\mathcal E'$.
On a un premier isomorphisme affine de vectorialisation : $i(O):E\longmapsto \mathcal E; u\mapsto O+u$ qui a le bon gout d'envoyer le vecteur nul $0_E$ de $E$ sur le point $O\in E$
On compose ensuite la bestiole avec $f$ pour obtenir l'application affine $f.i(O): E\longmapsto \mathcal E'; u\mapsto f(O+u)$..
On compose enfin ceci avec l'inverse de la vectorialisation au point $O'=f(O)$: $i(O')):E'\longmapsto \mathcal E': u'\mapsto f(O)+u'$.
Concrètement $i(O')^{-1}:\mathcal E'\longmapsto E'; M'\mapsto \overrightarrow{O'M'}$
Au total, on obtient une application affine: $i(O')^{-1}.f.i(O):E\longmapsto E'$ comme composée de trois applications affines. Evidemment il faut savoir que la composée d'applications affines est encore affine.
C'est là qu'il faut me faire un beau rectangle commutatif
Posons $g_O=i(O')^{-1}.f.i(O): E\longmapsto E'; u\mapsto \overrightarrow{f(O)f(O+u)}$
Alors $g(O):E\longmapsto E'$ est une application affine de l'espace vectoriel $E$ dans l'espace vectoriel $E'$, ce qui sous-entend au passage que les espaces vectoriels ont eux aussi une structure naturelle d'espace affine.
Mais si on a bien suivi ce qui se passe: $g(O)(0_E)= 0_{E'}$ est une application affine d'un espace vectoriel dans un autre espace vectoriel qui transforme le vecteur nul du premier dans le vecteur nul du second et ne peut donc pas faire autre chose que d'être linéaire
C'est ce que tu voulais, oui ou non?
Mais ce n'est pas fini!
En fait cette application linéaire $g(O)$ ne dépend pas du point $O$, démonstration?
C'est pourquoi, on l'appelle partie linéaire de $f$ et on la note $\overrightarrow f$
On a donc la mirifique formule:
$$f(O+u)=f(O)+\overrightarrow f(u)$$
N'est-ce pas le divin pied que de Bourbakiser?
Cela change des miasmes délétères de la géométrie du triangle!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Mon cher GG
Je pense quand même avoir montré que si $f$ est affine, alors $g(O)$ est linéaire.
Je n'ai pas montré la réciproque,il est vrai mais je ne peux tout faire!
A vrai dire, je ne sais trop ce que voulait Poli12 car il est très fumeux et s'exprime bien mal!
GaBuZoMeu s'est embarqué dans l'enveloppe vectorielle et moi dans le vectorialisé mais peut-être nous sommes nous trompés tous les deux?
Amicalement
[small]p[/small]appus