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Aire de quadrilatère

Envoyé par soland 
Aire de quadrilatère
il y a trois mois
avatar
Les côtés successifs d'un quadrilatère convexe mesurent
$1,\, 2,\, 4,\, 3$ unités $u$, dans cet ordre.

Son aire peut-elle mesurer un nombre entier de $u^2$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Aire de Quadrilatère
il y a trois mois
avatar
Bonjour soland,
Ne peut-on pas prendre GeoGebra et procéder à des déformations continues ? Alors on pourrait penser au théorème des valeurs intermédiaires.
Amicalement. jacquot
Re: Aire de Quadrilatère
il y a trois mois
avatar
La réponse est oui.


Re: Aire de Quadrilatère
il y a trois mois
Bonjour
L'aire maximum d'un tel quadrilatère est $\dfrac 14\sqrt{(-1+2+3+4)(1-2+3+4)(1+2-3+4)(1+2+3-4)}=4.8989...$
Conclusion?
Amicalement
pappus



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par pappus.
Re: Aire de Quadrilatère
il y a trois mois
Bonjour
Maintenant comment peut-on construire effectivement de tels quadrilatères?
On en a parlé en long et en large il y a quelques années!
Amicalement
pappus
JLT
Re: Aire de Quadrilatère
il y a trois mois
avatar
$ $


Re: Aire de Quadrilatère
il y a trois mois
Bonjour
En ce qui concerne la construction d'un quadrilatère dont on connaît les longueurs des côtés $a$, $b$, $c$, $d$ et l'aire $S$, je renvoie à ce fil vieux de quatre ans:
Construire un quadrilatère
Amicalement
pappus



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par pappus.
JLT
Re: Aire de Quadrilatère
il y a trois mois
avatar
Avec la construction de Hadamard : $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $B'=(11,8)$, $C$ est un point d'intersection de $\mathcal{C}(B',12)$ et de $\mathcal{C}(B,2)$.


Re: Aire de Quadrilatère
il y a trois mois
AB=1, BC=2, CD=4, DA=3
ang(ABC)=t, ang(ADC)=a
Il vient :
$\sin(t)+6\sin(a)=n$, $n$ entier naturel.
$-\cos(t)+6\cos(a)=5$

On pose :
$x_1=\sin(t), \; x_2=\sin(a)$
$y_1=\cos(t), \; y_2=\cos(a)$

On arrive au système
$x_1+6x_2=n$
$-y_1+6y_2=5$
$x_1^2+x_2^2=1$
$y_1^2+y_2^2=1$

une résolution partielle donne :
$12n x_2+60y_2=n^2+60$
$x_2^2+y_2^2=1$

On obtient une équation du 2e degré : $x_2^2(3600+144n^2)-24n x_2(n^2+60)+n^4+120n^2=0$

Son discriminant est : $\Delta=120^2n^2(24-n^2)$

ce qui donne à priori 4 solutions pour $n \in \{1,2,3,4\}$
Cela vous parait-il conforme à ce que vous avez déjà trouvé, ou me suis-je trompé ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
JLT
Re: Aire de Quadrilatère
il y a trois mois
avatar
Attention, certaines solutions donnent des quadrilatères non convexes. Tu pourras vérifier si tes calculs sont exacts en faisant le dessin sur Geogebra.
Re: Aire de quadrilatère
il y a trois mois
Je reprends mes notations:
Quadrilatère ABCD
AB=1, BC=2, CD=4, DA=3
a=alpha=ang(ADC); t=theta=ang(ABC)

n=1
Quadrilatère concave

n := 2
alpha := 29.75720958
theta := 77.94689468
AC := 2.040766317
ACf := 1/29 sqrt(2465 + 464 sqrt(5))
BAD := 176.8078415
BCD := 75.48805420


n := 3
alpha := 40.52215523
theta := 116.0446431
AC := 2.599285536
ACf := 1/17 sqrt(1360 + 153 sqrt(15))
BAD := 134.6290619
BCD := 68.80413982


n := 4
alpha1 := 47.12694034
theta1 := 156.5981610
AC := 2.944650661
ACf := 1/41 sqrt(10865 + 2624 sqrt(2))
BAD := 100.2231596
BCD := 56.05173905


alpha2 := 30.19267615
theta2 := 79.27854444
AC := 2.062974008
ACf := 1/41 sqrt(10865 - 2624 sqrt(2))
BAD := 175.0878101
BCD := 75.44096923

Donc 4 solutions
JLT
Re: Aire de quadrilatère
il y a trois mois
avatar
Je pense qu'il n'y a qu'un seul quadrilatère convexe, pour $n=4$. Tu peux vérifier sur Geogebra (il y a une commande Aire[A,B,C,D] qui permet de calculer l'angle d'un quadrilatère).
Re: Aire de quadrilatère
il y a trois mois
J'ai fait l'analyse avec Maple, je me suis peut-être trompé quelque part. Je revérifie...
Re: Aire de quadrilatère
il y a trois mois
Effectivement, pour n=4, la seconde solution donne bien un quadrilatère convexe, mais son aire n'est pas entière : 4,79...
Donc il ne reste que 3 solutions.
JLT
Re: Aire de quadrilatère
il y a trois mois
avatar
Aucune solution ne convient pour $n\leqslant 3$.
Re: Aire de quadrilatère
il y a trois mois
Merci de la précision, soit le quadrilatère est concave soit l'aire n'est pas entière. Je n'avais pas tout vu.
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