Bonjour soland,
Ne peut-on pas prendre GeoGebra et procéder à des déformations continues ? Alors on pourrait penser au théorème des valeurs intermédiaires.
Amicalement. jacquot
Bonjour
L'aire maximum d'un tel quadrilatère est $\dfrac 14\sqrt{(-1+2+3+4)(1-2+3+4)(1+2-3+4)(1+2+3-4)}=4.8989...$
Conclusion?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonjour
Maintenant comment peut-on construire effectivement de tels quadrilatères?
On en a parlé en long et en large il y a quelques années!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Bonjour
En ce qui concerne la construction d'un quadrilatère dont on connaît les longueurs des côtés $a$, $b$, $c$, $d$ et l'aire $S$, je renvoie à ce fil vieux de quatre ans: Construire un quadrilatère
Amicalement
[small]p[/small]appus
Avec la construction de Hadamard : $A=(0,0)$, $B=(1,0)$, $B'=(11,8)$, $C$ est un point d'intersection de $\mathcal{C}(B',12)$ et de $\mathcal{C}(B,2)$.
Attention, certaines solutions donnent des quadrilatères non convexes. Tu pourras vérifier si tes calculs sont exacts en faisant le dessin sur Geogebra.
Je pense qu'il n'y a qu'un seul quadrilatère convexe, pour $n=4$. Tu peux vérifier sur Geogebra (il y a une commande Aire[A,B,C,D] qui permet de calculer l'angle d'un quadrilatère).
Effectivement, pour n=4, la seconde solution donne bien un quadrilatère convexe, mais son aire n'est pas entière : 4,79...
Donc il ne reste que 3 solutions.
Réponses
Ne peut-on pas prendre GeoGebra et procéder à des déformations continues ? Alors on pourrait penser au théorème des valeurs intermédiaires.
Amicalement. jacquot
L'aire maximum d'un tel quadrilatère est $\dfrac 14\sqrt{(-1+2+3+4)(1-2+3+4)(1+2-3+4)(1+2+3-4)}=4.8989...$
Conclusion?
Amicalement
[small]p[/small]appus
Maintenant comment peut-on construire effectivement de tels quadrilatères?
On en a parlé en long et en large il y a quelques années!
Amicalement
[small]p[/small]appus
En ce qui concerne la construction d'un quadrilatère dont on connaît les longueurs des côtés $a$, $b$, $c$, $d$ et l'aire $S$, je renvoie à ce fil vieux de quatre ans:
Construire un quadrilatère
Amicalement
[small]p[/small]appus
ang(ABC)=t, ang(ADC)=a
Il vient :
$\sin(t)+6\sin(a)=n$, $n$ entier naturel.
$-\cos(t)+6\cos(a)=5$
On pose :
$x_1=\sin(t), \; x_2=\sin(a)$
$y_1=\cos(t), \; y_2=\cos(a)$
On arrive au système
$x_1+6x_2=n$
$-y_1+6y_2=5$
$x_1^2+x_2^2=1$
$y_1^2+y_2^2=1$
une résolution partielle donne :
$12n x_2+60y_2=n^2+60$
$x_2^2+y_2^2=1$
On obtient une équation du 2e degré : $x_2^2(3600+144n^2)-24n x_2(n^2+60)+n^4+120n^2=0$
Son discriminant est : $\Delta=120^2n^2(24-n^2)$
ce qui donne à priori 4 solutions pour $n \in \{1,2,3,4\}$
Cela vous parait-il conforme à ce que vous avez déjà trouvé, ou me suis-je trompé ?
Quadrilatère ABCD
AB=1, BC=2, CD=4, DA=3
a=alpha=ang(ADC); t=theta=ang(ABC)
n=1
Quadrilatère concave
n := 2
alpha := 29.75720958
theta := 77.94689468
AC := 2.040766317
ACf := 1/29 sqrt(2465 + 464 sqrt(5))
BAD := 176.8078415
BCD := 75.48805420
n := 3
alpha := 40.52215523
theta := 116.0446431
AC := 2.599285536
ACf := 1/17 sqrt(1360 + 153 sqrt(15))
BAD := 134.6290619
BCD := 68.80413982
n := 4
alpha1 := 47.12694034
theta1 := 156.5981610
AC := 2.944650661
ACf := 1/41 sqrt(10865 + 2624 sqrt(2))
BAD := 100.2231596
BCD := 56.05173905
alpha2 := 30.19267615
theta2 := 79.27854444
AC := 2.062974008
ACf := 1/41 sqrt(10865 - 2624 sqrt(2))
BAD := 175.0878101
BCD := 75.44096923
Donc 4 solutions
Donc il ne reste que 3 solutions.