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Réduction triangle quelconque

Envoyé par luffy48 
Réduction triangle quelconque
l’an passé
Bonjour
J'ai besoin de votre aide.
J'ai un triangle quelconque dans un plan cartésien. Je connais les coordonnées de ses 3 points.
Je souhaite réduire ce triangle de manière à ce que l'espace entre les côtés des 2 triangles soit le même.
J'ai essayé de vous faire un dessin.

Pourriez-vous m'aider à calculer les coordonnées des 3 points du triangle réduit s'il vous plaît ?
Merci d'avance.
Bien à vous,
Romain



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Dom
Re: réduction triangle quelconque
l’an passé
Une idée qui me vient : puisque l'on est dans un repère, on pourrait déterminer les équations des droites portées par les côtés du triangles puis les équations des droites portées par les côtés du petit triangle.
Sans savoir si c'est judicieux.
Re: réduction triangle quelconque
l’an passé
avatar
Les nouvelles coordonnées de C' sont
(10.82, 5.46)
au centième près.
Les valeurs exactes sont compliquées.

De retour dans la soirée.
Re: réduction triangle quelconque
l’an passé
avatar
Oui, je pense que la méthode de Dom est la plus simple.
Sinon, géométriquement parlant, $A',B'$ et $C'$ appartiennent aux bissectrices des angles du triangle $ABC$
On a une homothétie dont le centre est celui du cercle inscrit et le rapport $\dfrac {r-4}r$ où $r $ est son rayon. Mais bonjour les calculs.
Re: réduction triangle quelconque
l’an passé
Merci a tous pour vos retours.
Une petite précision, il faut que la solution soit applicable a n'importe quel triangle.

Je suis pas très fort en géométrie, j'ai donc besoin de vous pour trouver les formules nécessaires au calcul des coordonnées des points du triangle réduit.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par luffy48.
Dom
Re: réduction triangle quelconque
l’an passé
Alors c'est parti : $A(x_A;y_A)$, $B(x_B;y_B)$, $C(x_C;y_C)$ non alignés.

Je pars pour un moment (ouf !).
JLT
Re: réduction triangle quelconque
l’an passé
avatar
Voici ce que donne la méthode de jacquot.

Soit $S$ l'aire du triangle, $r$ le rayon du cercle inscrit et $a=BC$, $b=CA$ et $c=AB$.

On calcule $a,b,c$ par $a=\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}$, etc.

On sait que $2S=(a+b+c)r=|x_By_C+x_Cy_A+x_Ay_B-y_Bx_C-y_Cx_A-y_Ax_B|$ donc on calcule $r$ par
$r=\dfrac{|x_By_C+x_Cy_A+x_Ay_B-y_Bx_C-y_Cx_A-y_Ax_B|}{a+b+c}$.

On calcule les coordonnées du point $I$ par $I=\dfrac{aA+bB+cC}{a+b+c}$.

Soit $d=0.4$ (la distance entre le petit et le grand triangle).

On a $A'=\dfrac{dI+(r-d)A}{r}$, etc.
Re: Réduction triangle quelconque
l’an passé
avatar
Pour A' (mettez des flèches partout) :
OA' = OC' +k(2, 1)


Re: Réduction triangle quelconque
l’an passé
Merci encore.

Encore une petite précision.
Les éléments connus, les dimensions de $AB$, $BC$ et $AC$, les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$ et la distance entre le petit et le grand triangle.

@JLT serait-il possible d’expliquer un peu plus s'il vous plait ?
Je ne comprends pas le calcul $I=\dfrac{aA+bB+cC}{a+b+c}$.
À quoi correspond $A$, $B$ et $C$ ?

J'ai besoin des coordonnées de $A'$, $B'$ et $C'$, or je ne vois pas comment les calculer.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par jacquot.
JLT
Re: Réduction triangle quelconque
l’an passé
avatar
$A$ est le point $(x_A,y_A)$.

$aA$ signifie $(ax_A,ay_A)$.

On a donc $I=\Big(\dfrac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c},\dfrac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}\Big)$.
Dom
Re: Réduction triangle quelconque
l’an passé
Une alternative : (mais il reste du travail...)
Quitte à translater le triangle et à le (re)tourner un petit peu, je considère que les coordonnées de $A$, $B$ et $C$ sont les suivantes :

$A(0;0)$, $B(x_B;0)$, $C(x_C;y_C)$ où $y_C>0$ (on choisit de placer $C$ dans le demi-plan supérieur).

Quitte à changer le nom des points, je m'arrange pour que $0< x_C <x_B$ (j'exclus pour le moment le cas du triangle rectangle), ainsi, $C$ est au dessus du segment $[AB]$.

On obtient les équations cartésiennes de droites suivantes :

$(AB) : y = 0$
$(AC) : y = \dfrac{y_C}{x_C} x$
$(BC) : y = \dfrac{y_C}{x_C-x_B} x - \dfrac{y_Cx_B}{x_C-x_B} $

Ensuite, des calculs (peut distrayants) permettent de trouver les équations des droites $(A'B')$, $(A'C')$ et $(B'C')$ : j'ai noté $d$ la distance donnée (sans me soucier de son ensemble de définition car ce $d $ ne doit pas être trop grand si l'on veut une réduction.)

$(A'B') : y = d$

$(A'C') : y = \dfrac{y_C}{x_C} x - \dfrac{d\left( \left( \dfrac{y_C}{x_C} \right) ^2 + 1 \right)}{\sqrt{2} \left|\dfrac{y_C}{x_C} \right|}$

$(B'C') : y = \dfrac{y_C}{x_C-x_B} x - \dfrac{y_Cx_B}{x_C-x_B} - \dfrac{d\left( \left( \dfrac{y_C}{x_C-x_B} \right) ^2 + 1 \right)}{\sqrt{2} \left|\dfrac{y_C}{x_C-x_B} \right|} $

S'il n'y a pas d'erreurs eye rolling smiley, on peut retrouver les coordonnées des points $A'$, $B'$ et $C'$.
A faire...
Puis il faudra retourner à l'envers et translater à l'envers pour retrouver les coordonnées voulues
A faire...
Re: Réduction triangle quelconque
l’an passé
Merci à tous pour vos retours.
Cela m'a bien aidé.

@Dom : si ce n'est pas trop demander, pourrais tu, sil te plait, me détailler les calculs qui t-on mené à ce résultat $\dfrac{d\left(
\left( \dfrac{y_C}{x_C} \right) ^2 + 1\right)}{\sqrt{2} \left|\dfrac{y_C}{x_C}\right|}$

Merci



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par jacquot.
Dom
Re: Réduction triangle quelconque
l’an passé
Houalalala....c'est à la fois rudimentaire et calculatoire...sans aucune ingéniosité...eye rolling smiley

Première partie : recherche de la distance entre deux droites "générales"

Soient deux droites parallèles dont le coefficient directeur est $a$ réel non nul.
$\mathcal D : y=ax+b$
$\mathcal D' : y=ax+b' $

On note la distance $d$ entre les deux droites.

Je n'ai pas été astucieux : je place un point $M(u, au+b)$ sur $\mathcal D$.
Je considère la droite $\mathcal T$ perpendiculaire à $\mathcal D$ passant par $M$.
Je sais que le produit des coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires vaut $-1$.

Je trouve : $\mathcal T : y=-\dfrac{1}{a} x+\left( a +\dfrac{1}{a} \right) u+b$ (à vérifier)

Je note $M'$ le point d'intersection de $\mathcal T$ avec $\mathcal D'$.

Je trouve : $M'\left( \dfrac{a(b-b')}{a^2+1}+u \, ; \, \dfrac{a^2(b-b')}{a^2+1}+au+b \right)$ (à vérifier)

Puis $d=MM'$ donc : $d=\dfrac{\sqrt{2}|a||b-b'|}{a^2+1}\qquad$ (à vérifier)

Remarque : cela reste vrai dans le cas $a=0$ de deux droites "horizontales", mais pas le cas des droites "verticales".
Dom
Re: Réduction triangle quelconque
l’an passé
Deuxième partie : on travaille à l'envers, on donne $\mathcal D : y=ax+b$ et $d$ un réel strictement positif et on cherche l'équation d'une droite (il y en a exactement deux) $\mathcal D' : y=ax+b'$ qui est la distance $d$ de la droite $\mathcal D$.

On étudie le cas $a\neq 0$.
De ce qui précède on déduit : $|b-b'|=\dfrac{d(a^2+1)}{\sqrt{2}|a|}$

Donc : $b'=b \pm \dfrac{d(a^2+1)}{\sqrt{2}|a|}$

Selon que la droite cherchée est au dessus ou en dessous la première, on choisit le signe.

Dans ma configuration, comme sur ton dessin, ces deux droites sont en dessous, d'où le $"-"$.

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