Réduction triangle quelconque

Les nouvelles coordonnées de C' sont
(10.82, 5.46)
au centième près.
Les valeurs exactes sont compliquées.

De retour dans la soirée.

Voici ce que donne la méthode de jacquot.

Soit $S$ l'aire du triangle, $r$ le rayon du cercle inscrit et $a=BC$, $b=CA$ et $c=AB$.

On calcule $a,b,c$ par $a=\sqrt{(x_B-x_C)^2+(y_B-y_C)^2}$, etc.

On sait que $2S=(a+b+c)r=|x_By_C+x_Cy_A+x_Ay_B-y_Bx_C-y_Cx_A-y_Ax_B|$ donc on calcule $r$ par
$r=\dfrac{|x_By_C+x_Cy_A+x_Ay_B-y_Bx_C-y_Cx_A-y_Ax_B|}{a+b+c}$.

On calcule les coordonnées du point $I$ par $I=\dfrac{aA+bB+cC}{a+b+c}$.

Soit $d=0.4$ (la distance entre le petit et le grand triangle).

On a $A'=\dfrac{dI+(r-d)A}{r}$, etc.

Une alternative : (mais il reste du travail...)
Quitte à translater le triangle et à le (re)tourner un petit peu, je considère que les coordonnées de $A$, $B$ et $C$ sont les suivantes :

$A(0;0)$, $B(x_B;0)$, $C(x_C;y_C)$ où $y_C>0$ (on choisit de placer $C$ dans le demi-plan supérieur).

Quitte à changer le nom des points, je m'arrange pour que $0< x_C <x_B$ (j'exclus pour le moment le cas du triangle rectangle), ainsi, $C$ est au dessus du segment $[AB]$.

On obtient les équations cartésiennes de droites suivantes :

$(AB) : y = 0$
$(AC) : y = \dfrac{y_C}{x_C} x$
$(BC) : y = \dfrac{y_C}{x_C-x_B} x - \dfrac{y_Cx_B}{x_C-x_B} $

Ensuite, des calculs (peut distrayants) permettent de trouver les équations des droites $(A'B')$, $(A'C')$ et $(B'C')$ : j'ai noté $d$ la distance donnée (sans me soucier de son ensemble de définition car ce $d $ ne doit pas être trop grand si l'on veut une réduction.)

$(A'B') : y = d$

$(A'C') : y = \dfrac{y_C}{x_C} x - \dfrac{d\left( \left( \dfrac{y_C}{x_C} \right) ^2 + 1 \right)}{\sqrt{2} \left|\dfrac{y_C}{x_C} \right|}$

$(B'C') : y = \dfrac{y_C}{x_C-x_B} x - \dfrac{y_Cx_B}{x_C-x_B} - \dfrac{d\left( \left( \dfrac{y_C}{x_C-x_B} \right) ^2 + 1 \right)}{\sqrt{2} \left|\dfrac{y_C}{x_C-x_B} \right|} $

S'il n'y a pas d'erreurs 8-), on peut retrouver les coordonnées des points $A'$, $B'$ et $C'$.
A faire...
Puis il faudra retourner à l'envers et translater à l'envers pour retrouver les coordonnées voulues
A faire...

Houalalala....c'est à la fois rudimentaire et calculatoire...sans aucune ingéniosité...8-)

Première partie : recherche de la distance entre deux droites "générales"

Soient deux droites parallèles dont le coefficient directeur est $a$ réel non nul.
$\mathcal D : y=ax+b$
$\mathcal D' : y=ax+b' $

On note la distance $d$ entre les deux droites.

Je n'ai pas été astucieux : je place un point $M(u, au+b)$ sur $\mathcal D$.
Je considère la droite $\mathcal T$ perpendiculaire à $\mathcal D$ passant par $M$.
Je sais que le produit des coefficients directeurs de deux droites perpendiculaires vaut $-1$.

Je trouve : $\mathcal T : y=-\dfrac{1}{a} x+\left( a +\dfrac{1}{a} \right) u+b$ (à vérifier)

Je note $M'$ le point d'intersection de $\mathcal T$ avec $\mathcal D'$.

Je trouve : $M'\left( \dfrac{a(b-b')}{a^2+1}+u \, ; \, \dfrac{a^2(b-b')}{a^2+1}+au+b \right)$ (à vérifier)

Puis $d=MM'$ donc : $d=\dfrac{\sqrt{2}|a||b-b'|}{a^2+1}\qquad$ (à vérifier)

Remarque : cela reste vrai dans le cas $a=0$ de deux droites "horizontales", mais pas le cas des droites "verticales".