Positions d'un carré dans l'espace

Bonjour,

M'inspirant des coordonnées sphériques, je note $A$ un point de coordonnées $(cos \phi cos \theta, cos \phi sin \theta, sin\phi)$ dans un repère orthonormé classique, et $A'$ son symétrique par rapport à l'origine. Avec $\theta \in ]-\pi,\pi]$, et $\phi \in ]-\pi/2,\pi/2]$.
J'ai alors l'impression que toutes les positions possibles d'un segment $[AA']$ de milieu $O$ sont bien décrites, i.e. ces positions sont en bijection (ou presque: petit problème aux pôles ?) avec le produit cartésien des intervalles de définition des deux angles.

Je crois même pouvoir qualifier ce segment d'objet à deux dimensions, puisque deux paramètres permettent l'accès à toutes les occurences, sans redites.

1) Je rame complètement pour la question analogue suivante: je voudrais une bijection de l'ensemble des carrés $ABA'B'$ de centre $O$, avec un produit cartésien qui m'échappe.
a) Comment paramétrer le troisième sommet $B$ ?
Sur l'exemple joint, j'ai pris $B$ dans le plan $(xOy)$, mais je souhaite qu'il ait la liberté de se trouver ailleurs aussi.
(No problem pour le quatrième sommet $B'$, puisqu'il sera le symétrique de $B$ par rapport à $O$.)

b) Le carré obtenu pourra-t-il être qualifié d'objet de dimension 3 ? Ne risque-t-on pas des redites, i.e. perdre le caractère injectif, à cause d'au moins une position de $B$ commune à deux positions de $A$ ?

2) En astronomie ou en aviation par exemple, ça a dû être réglé depuis longtemps, mais pouvez-vous me dire comment on appelle ce genre de représentation dans l'espace d'un plan avec son propre repère $(O, A, $, en quelque sorte ? Dois-je m'intéresser au repère de Frenet ?

Cordialement,
Swingmustard