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Inégalités en géométrie affine euclidienne

Envoyé par Chaurien 
Inégalités en géométrie affine euclidienne
l’an passé
Bonjour. Dans un espace affine euclidien $\mathcal E$, je note $AB$ la distance de deux points $A$ et $B$.
J'observe que, quels que soient les points $A,B,C,D$ on a :
$AB+BC+CD+DA \ge AC+BD$, et : $AB^2+BC^2+CD^2+DA^2 \ge AC^2+BD^2$,
et pour chacune de ces deux inégalités il n'est pas très difficile de déterminer les configurations donnant l'égalité.
Alors voici ma question.
Pour quels réels $\alpha$ a-t-on : $AB^\alpha+BC^\alpha+CD^\alpha+DA^\alpha \ge AC^\alpha+BD^\alpha$ quels que soient les points $A,B,C,D$ ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
JLT
Re: Inégalités en géométrie affine euclidienne
l’an passé
avatar
Quelques remarques triviales :

1) L'inégalité est fausse si $\alpha>2$ lorsque $B=D$ est le milieu de $[AC]$.

2) L'inégalité est fausse si $\alpha<0$ et $B,D$ sont très proches du milieu de $[AC]$.

3) L'inégalité est vraie pour $\alpha=0$.

4) Quelques tests informatiques m'amènent à conjecturer que l'inégalité est vraie pour tout $\alpha\in [0,2]$.

P.S. Pour tous $x,y\geqslant 0$ et tout $\alpha\in [0,1]$, on a $(x+y)^\alpha\leqslant x^\alpha+y^\alpha$. Ceci combiné à l'inégalité triangulaire montre que l'inégalité est vraie pour tout $\alpha\in [0,1]$.

Reste donc à examiner le cas $1<\alpha<2$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par JLT.
Re: Inégalités en géométrie affine euclidienne
l’an passé
Bravo JLT, comme d'habitude, je n'avais pas vu tout ceci. Qui viendra alors achever le travail ?
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