Avec la condition $\overline{ca}\cdot\overline{cb}=2\overline{ce}\cdot\overline{cf}$, chacune des quatre droites est parallèle à la médiane d'un triangle de la figure.
Si
une des droites est parallèle à une des médianes du triangle formé par les trois autres
Alors
chaque droite est parallèle à une des médianes du triangle formé par les trois autres.
@JLT Je cherche en vain un critère plus symétrique.
On dit que $(D_1,D_2,D_3,D_4)$ forme une configuration harmonique si $(D_1,D_2,D_3,D_4)=-1$.
Il y a alors équivalence entre :
(i) $(D_1,D_2,D_3,D_4)$ forme une configuration harmonique ;
(ii) $D_1$ est parallèle à la médiane du triangle formé par les trois autres droites issue de $D_3\cap D_4$ ;
(iii) $D_2$ est parallèle à la médiane du triangle formé par les trois autres droites issue de $D_3\cap D_4$ ;
(iv) $D_3$ est parallèle à la médiane du triangle formé par les trois autres droites issue de $D_1\cap D_2$ ;
(v) $D_4$ est parallèle à la médiane du triangle formé par les trois autres droites issue de $D_1\cap D_2$.
La question que je me pose : normalement, le birapport est un nombre associé à quatre points d'une droite projective. Je me demande si on peut naturellement associer à $D_1,\ldots,D_4$ quatre points $d_1,\ldots,d_4$ d'une droite projective à déterminer tels que $(D_1,D_2,D_3,D_4)=(d_1,d_2,d_3,d_4)$.
N.B. Les définitions et équivalences ci-dessus sont valables sur tout corps de caractéristique $\ne 2$.
Je me réponds à moi-même. Le birapport est en fait celui des directions de $D_1,\ldots,D_4$ (la direction d'une droite affine du plan est une droite vectorielle, et l'ensemble des droites vectorielles du plan est une droite projective).
Réponses
ae
Si
une des droites est parallèle à une des médianes du triangle formé par les trois autres
Alors
chaque droite est parallèle à une des médianes du triangle formé par les trois autres.
@JLT Je cherche en vain un critère plus symétrique.
Soient $D_1,D_2,D_3,D_4$ quatre droites affines du plan. Notons $A_{ij}=D_i\cap D_j$. Je définis le birapport
$$(D_1,D_2,D_3,D_4)=\dfrac{\overline{ A_{12}A_{13} } }{\overline{A_{12}A_{14}}}\div \dfrac{\overline{A_{21}A_{23}}}{\overline{A_{21}A_{24}}}.$$
On dit que $(D_1,D_2,D_3,D_4)$ forme une configuration harmonique si $(D_1,D_2,D_3,D_4)=-1$.
Il y a alors équivalence entre :
(i) $(D_1,D_2,D_3,D_4)$ forme une configuration harmonique ;
(ii) $D_1$ est parallèle à la médiane du triangle formé par les trois autres droites issue de $D_3\cap D_4$ ;
(iii) $D_2$ est parallèle à la médiane du triangle formé par les trois autres droites issue de $D_3\cap D_4$ ;
(iv) $D_3$ est parallèle à la médiane du triangle formé par les trois autres droites issue de $D_1\cap D_2$ ;
(v) $D_4$ est parallèle à la médiane du triangle formé par les trois autres droites issue de $D_1\cap D_2$.
La question que je me pose : normalement, le birapport est un nombre associé à quatre points d'une droite projective. Je me demande si on peut naturellement associer à $D_1,\ldots,D_4$ quatre points $d_1,\ldots,d_4$ d'une droite projective à déterminer tels que $(D_1,D_2,D_3,D_4)=(d_1,d_2,d_3,d_4)$.
N.B. Les définitions et équivalences ci-dessus sont valables sur tout corps de caractéristique $\ne 2$.
Il me semble qu'on en avait déjà discuté!
Joli petit problème affine
Amicalement
[small]p[/small]appus