Restitution du centre de vue

Swingmustard · August 2018

Bonjour
La projection de centre $S'$ transforme un carré bicolore $A'B'C'D'$ en un quadrilatère bicolore sur le plan $xOz$. Soit $S$ le projeté orthogonal de $S'$, sur le même plan dit "de l'image".
La seule donnée de $ABCD$ suffit-elle à retrouver l'emplacement de $S$ ? - me demandais-je.
Non, puisque j'ai fini par trouver un carré rouge qui à la même projection, mais avec un centre $S''$ de cote distincte de celle commune à $S'$ et à $S$.
Le cas 3 Points de Fuite est connu: $S$ est leur orthocentre. J'examinerai le cas 2PF ailleurs, et limite cette discussion au cas 1PF. Modification (merci jacquot): le début de cette discussion portera sur 1 seul point de fuite, la suite ... suivra ici-même.

Le côté $A'B'$ du carré est parallèle au plan de projection, et pas ses côtés adjacents. D'où un seul PF, et $ABCD$ trapèze. La question est la suivante. Quel est le lieu des centres de projection qui transforment un carré de l'espace en un trapèze donné.

Je présume que ce lieu est inclus dans le plan médiateur des points de fuite des diagonales notés $F_{AC}$ et $F_{BD}$.
Et je suis tombé sur deux candidats $S'$ et $S''$ (déjà dit). J'en suis là et j'espère trouver une courbe de ce plan médiateur, plutôt que lui tout entier, ou la droite $S'S''$. Merci pour votre éventuel coup de main ! 79068

Swingmustard · August 2018

Je crois que la question sera mieux formulée ainsi.
Dans le plan $xOz$, on donne un trapèze $ABCD$.
Quel est le lieu des centres $S'$ de projection tels qu'il existe un carré $A'B'C'D'$ dont $ABCD$ soit l'image ?

(Quant au terme "centre de vue" du titre, il désigne plutôt le projeté orthogonal $S$ d'un tel centre de projection. Si je comprends mieux le lieu des centres de projection, je pourrai ensuite le restreindre en ajoutant des conditions, et poser des exercices de la forme "Dans le plan $xOz$, on donne un trapèze $ABCD$ tel que ceci ou cela. Déterminer le centre de vue.")

Swingmustard · August 2018

Je pense avoir désormais la réponse. C'est du déjà-lu je ne sais où, sûrement sans trop comprendre. En même temps, je la trouve sensass. Une démonstration m'intéresserait. En attendant, je propose une simplification de la recherche. Pour chaque $S'$ du lieu, il n'y aura pas qu'un $A'B'C'D'$, mais l'infinité de ses homothétiques ($S'$ servant alors de centre... d'homothétie). On ne perd pas de généralité à s'intéresser exclusivement à celui pour lequel $[A'B']$ coïncide avec $[AB]$.

Exit $A'$ et $B'$, d'où une formulation un peu allégée de la question.
Dans le plan $xOz$, on donne un trapèze $ABCD$.
Quel est le lieu des centres $S'$ de projection tels qu'il existe un carré $ABC'D'$ dont $ABCD$ soit l'image ?

Au plaisir. 79106

JLT · August 2018

Sauf erreur de calcul, c'est un cercle situé dans un plan perpendiculaire à $(AB)$.

On prend un repère tel que $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(c,0,h)$ et $D=(d,0,h)$.

Il existe $t$ tel que $C'=(1,\cos t,\sin t)$ et $D'=(0,\cos t,\sin t)$. Comme $S,C,C'$ d'une part, et $S,D,D'$ d'autre part, sont alignés, il existe $\lambda$ et $\mu$ tels que $S=C'+\lambda\overrightarrow{C'C}=D'+\mu\overrightarrow{D'D}$.

En regardant les coordonnées $y$ et $z$ de cette égalité, on trouve $\lambda=\mu$. En regardant la coordonnée $x$, il vient $1+\lambda(c-1)=\lambda d$ donc $\lambda=\frac{1}{d-c+1}$. On reporte dans $S=D'+\lambda\overrightarrow{D'D}$ et on obtient $S=(\frac{d}{d-c+1},\frac{d-c}{d-c+1}\cos t,\frac{h}{d-c+1}+\frac{d-c}{d-c+1}\sin t)$.

Plus précisément, soit $E=(AD)\cap (BC)$. Alors le cercle est centré en $E$, et de rayon $\dfrac{CD}{|CD-AB|}$.

Swingmustard · August 2018

Impressionné. Ce $E$ centre du cercle est le point de fuite (de la direction commune à $(A'D')$ et à $(B'C')$, je le note $F_{AD}$ sur le dessin), en même temps que le milieu du segment $[F_{AC}F_{BD}]$ d'extrémités les points de fuite des diagonales. Merci pour le calcul du rayon, dont je n'avais pas vu l'expression que tu donnes, agréable car n'utilisant que les données initiales. Dans mon trip constructif, je parlais du carré de diagonale $[F_{AC}F_{BD}]$ inclus dans le plan de l'image, et définissais le cercle par axe et diamètre: la ligne d'horizon et l'autre diagonale de ce carré.

Par ailleurs, je voudrais bien respecter l'article de la charte qui demande des dessins occupant moins des 2/3 de la page, sans succès pour l'instant. 79110

Swingmustard · August 2018

Bonjour JLT,

Petit commentaire sur la formule du rayon: elle dit $\dfrac{CD}{|CD-1|}$, puisque tu as pris $AB=1$.
Et devient $\dfrac{AB\times CD}{|AB-CD|}$ pour $AB$ quelconque.

Ma version avec les points de fuite. Dans le plan $xOz$, j'appelle $F$ le point de fuite et $E$ celui d'une diagonale. Notre rayon $EF$ du cercle des centres de projection est alors retrouvé par le théorème de Thalès.

Autre manière de calculer $EF$, si on aime bien cette propriété des trapèzes: $CD$ est la moitié de la moyenne harmonique de $AB$ et $EF$.

Amicalement. 79212

Swingmustard · August 2018

Deux points de fuite (...en avant !)

$ABCD$ est un quadrilatère de $xOz$. $E$ et $F$ sont les points de fuite, $G$ et $H$ ceux des diagonales.
Le lieu des centres $S$ de projection des carrés antécédents de $ABCD$ demeure un cercle $\Gamma$ d'axe la ligne de fuite.
1) Rappeler un procédé de construction du centre de $\Gamma$.
2) Exprimer le diamètre $x$ de $\Gamma$ en fonction de mesures algébriques ne faisant intervenir que les points $E,F,G,H$.
3) JLT a montré plus haut que, pour un trapèze, $x$ s'exprime aussi en fonction de $a$ et $c$. Trouver l'équivalent en fonction de $a,b,c,d$ ? (Pour cette dernière question je n'ai pas de réponse.)

Amicalement. 79224

Swingmustard · August 2018

1) a) On peut consulter https://fr.wikipedia.org/wiki/Perspective_linéaire#Carrelages_plans, avec la réserve suivante. Pour moi, "le cercle qui définit le point de vue", c'est $\Gamma \subset yOz$. L'article donne mêmes centre et rayon, mais dans ${xOz}$, qui est le plan de la feuille... Peut-être parce que l'auteur a décidé de tout représenter dans $xOz$, et donc "rabattu" ?
b) Je doute parfois que $\Gamma$ épuise les points du lieu. Mais jusqu'à présent, tous mes soi-disant contre-exemples ont fait font long feu.

2) J'ai eu trouvé (ne sais plus le refaire, c'est malin. À vot' bon coeur, m'sieurs dames) $x$ moyenne harmonique (en valeur absolue) des mesures algébriques $\overline{EG}$ et $\overline{FH}$.
Qui égale celle de $\overline{EH}$ et $\overline{FG}$, division harmonique aidant.
Tant que j'y suis: c'est la première fois que je voyais division harmonique et moyenne harmonique dans le même bateau.
Ce lien entre elles: (Maman) l'est-il, bateau ?

3) J'ai tenté. Et abandonné.
Bonne soirée! 79360

Swingmustard · April 2020

Je reprends ce fil à zéro.

On dispose d'un quadrilatère $ABCD$, qui représente un carré en perspective.
On admet que les centres de vue possibles sont situés sur un cercle d'axe la ligne d'horizon $(EH)$.

On demande le rayon $R$ de ce cercle.

a) Cas général : $R$ est la moitié de la moyenne harmonique de $EG$ et $FH$ : $\dfrac1{R}=\dfrac1{EG}+\dfrac1{FH}$.

b) Cas particulier du trapèze de bases $AB$ et $CD$.
$F$ « part à l'infini », $E$ reste seul point de fuite et $R=EG=EH$.

Ma question : quelqu'un a-t-il une démonstration « géométrique » de (a) à proposer ?
(Avec les nombres complexes, j'y arrive bien. Mais vu qu'on a une division harmonique, je cherche quelque chose de moins calculatoire.)

Cordialement. 99300

Swingmustard · April 2020

Dans les dessins ci-dessous, je tente (en vain) de trouver un lien entre deux présences d'une même moyenne harmonique $h$:
(*) d'une part sur deux cercles orthogonaux,
(**) d'autre part sur les bases d'un trapèze.

J'entrevois une explication au manque de popularité de (*) comme construction de la moyenne.
Comparée à la simplissime (**), elle est pénible : une fois qu'on a tracé EG, des calculs sont nécessaires pour placer FH.
(Oui simplissime : la nature isocèle du trapèze, ainsi que sa hauteur ici calquée sur les cercles, n'ont rien de nécessaire.)
Voici avec GF = 1, 3 et 2 (oublié d'écrire sur le dessin cette distance entre les deux segments horizontaux) des exemples qui sont apparus en exigeant des distances entières.
Bref, exit l'intérêt en tant que construction d'une moyenne harmonique.

Restait l'intérêt en tant que calcul du diamètre du cercle intersection de deux sphères orthogonales ?
Là aussi une concurrence trop sérieuse: celle du théorème de Pythagore avec $\frac{h}2=\sqrt{(\frac{EF}2)^2-d^2}$, où $d$ est la distance entre centre de la sphère $EF$ et plan radical.

Ai scruté Lebossé-Hémery aux pages sur la division harmonique, ici notée $(EFGH)$, équivalente au fait que les cercles ou les sphères sont orthogonaux.
Page 167 les auteurs mentionnent bien une moyenne harmonique : celle de $EG$ et $EH$ est le diamètre $EF$ d'une des sphères de départ.
Mais je dois me résigner au fait que ce cas de figure, pourtant proche, est étranger à celui qui m'intéresse.

Ah la la. Éplucher leurs pages d'exercices ? 99366

Restitution du centre de vue

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