Plan tangent surface

J'ai lu quelque part que le gradient est orthogonal à la tangente en $M_0$ à toute courbe tracée sur $\mathscr{S}$ passant par $M_0$....

....mais je ne sais pas si c'est le meilleure caractérisation de ce plan tangent

En fait c'est que ce n'est pas très clair dans mon esprit, désolé.

Je reprends : le plan tangent en un point régulier est souvent défini comme le plan passant par $M_0$ et normal au gradient.
Du coup je manque d'intuition sur cette définition et sur le gradient (une aide pour comprendre ?).

Sinon comme je tentais de l'exprimer, j'ai lu que l'on peut comprendre le plan tangent en $M_0$ comme le plan contenant les tangentes à toute courbe tracée sur la surface passant par le point $M_0$.

Merci beaucoup pour votre aide

Bonjour ev, et merci

On a $\forall t\in I,f(x(t),y(t),z(t))=0$ car la courbe $t\in I\mapsto(x(t),y(t),z(t))$ est tracée sur la surface d'équation $f(x,y,z)=0$.

On obtient en dérivant cette relation par rapport à la variable $t$ : $x'\partial_xf+y'\partial_yf+z'\partial_z=0$

Le vecteur $(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))$ dirigeant la tangente au point $M(t_0)$ à la courbe est donc orthogonal au gradient au point $M(t_0)$ (qui est donc orthogonal à la tangente à toute courbe tracée sur la surface et passant par $M$).