Une vieille connaissance (généralisation)

Bonjour
Etant donnés un triangle $ABC$ et trois réels non nuls $\alpha ,\beta ,\gamma $, on considère les paires de droites $d$ et $d^{\prime }$ coupant les droites $BC, CA,AB$ respectivement en $U$ et $U^{\prime }$, $V$ et $V^{\prime }$, $W$ et $W^{\prime }$ avec $\overrightarrow{UU^{\prime }}=\alpha \overrightarrow{BC},\overrightarrow{VV^{\prime }}=\beta \overrightarrow{CA},\overrightarrow{WW^{\prime }}=\gamma \overrightarrow{AB}$.
Soient $K=\left( \alpha :\beta :\gamma \right) $ (barycentriques), $K^{\prime }=\left( \dfrac{1}{\alpha }:\dfrac{1}{\beta }:\dfrac{1}{\gamma }\right) $ son isotomique.et $\Gamma $ la conique inscrite dans $ABC$ de perspecteur $K$ ($\Gamma $ a pour centre le complément $O$ de $K^{\prime }$).
Montrer que le lieu de $M=d\cap d^{\prime }$ est une conique $\Lambda $ ayant même centre et mêmes points à l'infini -réels ou non- que $\Gamma $ et que, si $M\in \Lambda $, les droites $d$ et $d'$ correspondantes sont les tangentes menées de $M$ à la conique inscrite de centre le milieu $O^{\prime }$ de $\left[ MK^{\prime }\right] $.
A quelle condition sur $\alpha ,\beta ,\gamma $, la conique $\Gamma ^{\prime }$ est-elle dégénérée?
Tout résultat complémentaire est évidemment le bienvenu ainsi que toute étude de cas particuliers (celui où $\Gamma$ est une parabole par exemple).
Bonne fin de vacances.
Amicalement. Poulbot