Triangles dans un carré

Si les côtés d'un triangle sont rationnels, alors d'après la formule d'Al-Kashi les cosinus de ses angles sont rationnels. Il est alors bien connu que les angles ne peuvent valoir que $60^\circ$, $90^\circ$ ou $120^\circ$. Si on demande que les triangles ne sont ni isocèles ni rectangles, c'est impossible.

Je pense que j'ai vraiment dit n'importe quoi.

Bonjour,

Avec un seul point $M$ dans le carré on peut conjecturer qu’il n’y a pas de solution. Mais si on ajoute un point $P$ symétrique du point $M$ par rapport au centre du carré, alors on peut espérer une solution. On forme les triangles avec le segment $[MP].$
Si cette solution ne marche pas, je conjecture qu’il n’y a pas de solution.

Je reprends mon raisonnement à la JLT- Al Kashi:
supposons que dans un carré bleu $ABCD$ de côté rationnel, on sache placer un point $M$ tel que $MA, MB$ et $MC$ soient rationnels.


Alors d'après Al Kashi, les cosinus des angles des triangles $ABM$ et $BCM$ sont rationnels.
Or les angles marqués $\alpha$ et $\beta$ sur la figure ci-dessous sont complémentaires, donc leurs sinus sont aussi rationnels.
D'après la loi des sinus dans le triangle, les sinus des angles des triangles $ABM$ et $BCM$ sont aussi rationnels

Alors $\cos (\theta+\phi)= \cos\theta\cos\phi -\sin\theta\sin\phi$
donc $\cos (\theta+\phi)$ est rationnel.
Alors Al-kashi dit que dans le triangle $AMC$ le côté $AC$ est rationnel(Faux) ce qui revient à dire que $\sqrt 2$ est rationnel.

Il n'y a donc pas de solution à mon problème.

Bonjour,

Voici des solutions pour un point à distances rationnelles des sommets d'un triangle isocèle et rectangle (c'est-à-dire un demi-carré, cas qui nous préoccupe ici).

Dans le plan euclidien, on considère un carré de sommet $A=(0,0), B=(s,0), C=(s,s), D=(0,s)$ avec $s$ un réel non nul et un point $M(x,y)$ dont les distances aux trois sommets $A, B, D$ sont rationnelles. On note $(x,y;s)$ les solutions.

Voici des solutions : $(945,900;3364), (396,297;700), (1155,396;10952), (8288, 4884; 12675).$

Par exemple pour $(945,900;3364)$ :
On calcule $AM=\sqrt{945^2+900^2}=1305, BM=\sqrt{(3364-945)^2+900^2}=2581, DM=\sqrt{945^2+(3364-900)^2}=2639.$

Comme on sait qu'une conjecture (pas trop conne) est qu'il n'y a pas de point à distances rationnelles des quatre sommets du carré, on introduit le point $P$ symétrique du point $M$ par rapport au centre du carré et on complète la triangularisation du carré par le segment $[MP].$ Pour résoudre la question posée : une triangularisation sans triangles rectangles ni isocèles, il faudrait que $PM$ soit rationnelle : ce n'est pas le cas dans les exemples donnés.
Pour l'exemple choisi, on calcule $PM=58 \sqrt{1373}.$

Bonjour,

Oui, c'est une conjecture. On a démontré qu'on peut trouver des points à distances rationnelles pour plein de polygônes ou qu'on ne peut pas pour plein d'autres, mais pour le carré, la conjecture est que ce n'est pas possible. Elle n'est pas trop conne parce qu'on sait trouver des points à distances rationnelles pour un demi-carré (mais qui ne vont pas pour la quatrième distance), ou encore des points dans l'espace qui vont bien pour les quatre sommets (mais leur coordonnée $z$ n'est jamais nulle), etc. On peut aussi faire des maths assez difficiles sur les courbes elliptiques et autres et on se persuade qu'il n'y a pas de solution. Mais la démonstration est toujours attendue. Sauf dans Shtam et équivalents sur le net où l'on peut trouver des démonstrations plus débiles les unes que les autres.

La question posée ici est encore plus difficile puisque la triangularisation du carré demande que le point soit dans le carré (en général, on cherche dans le plan contenant le carré).

@ YvesM: Merci beaucoup de ces explications, très bienvenues pour ma culture mathématique générale !
Je suis curieux de savoir pour quels polygones réguliers le problème a été résolu, que ce soit dans un sens ou dans l'autre ...
Bien cordialement
JLBrl

Bonjour,

@Apollonius : Peut-on découper un carré en triangles non-rectangles et non-isocèles de côtés rationnels ?

Voici ma démonstration qui répond par l'affirmative avec en preuve un exemple. On peut en fait donner une infinité d'exemples, mais un suffit bien. L'idée est de paver le carré par des rectangles et de trouver un point dans le rectangle à distances rationnelles de ces quatre sommets.

On considère, dans le plan euclidien, un rectangle $\displaystyle ABCD$ avec $\displaystyle A(0,0), B(e,0), C(e,1), D(0,1)$ avec $\displaystyle e>0$ un réel. On considère le point $\displaystyle M(x,y)$ avec $\displaystyle 0<x<e$ et $\displaystyle 0<y<1$ qui assurent que le point $M$ est strictement à l'intérieur du rectangle $\displaystyle ABCD.$
Les distances aux sommets sont données par Pythagore :
$\displaystyle a=AM=\sqrt{x^2+y^2}$,
$\displaystyle b=BM=\sqrt{(e-x)^2+y^2}$,
$\displaystyle c=CM=\sqrt{(e-x)^2+(1-y)^2}$,
$\displaystyle d=DM=\sqrt{x^2+(1-y)^2}.$

On calcule avec $\displaystyle e={13 \over 12}, x={88 \over 399}, y={55 \over 133}$ les distances $\displaystyle a={187 \over 399}, b={509 \over 532}, c={555 \over 532}, d={250 \over 399}$ qui sont bien rationnelles. Les triangles $\displaystyle MAB, MBC, MCD, MDA$ ne sont ni rectangles ni isocèles en effet, $\displaystyle a,b,c,d$ sont distincts et $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2} \neq e, \sqrt{b^2+c^2} \neq 1, \sqrt{c^2+d^2} \neq e, \sqrt{d^2+a^2} \neq 1.$

On construit alors un carré en plaçant $12$ rectangles le long de l'axe des abscisses, et $13$ rectangles le long de l'axe des ordonnées. On obtient un carré de côté $\displaystyle 12 \times e = 13 = 1 \times 13.$ Dans chaque rectangle, les triangles $MAB, MBC, MCD, MDA$ ne sont ni rectangles ni isocèles. Voilà !

Bravo YvesM (tu),

Voici une illustration de ton idée avec d'autres valeurs :

Pour le partage du rectangle, tous les triangles rectangles sont des multiples de $3,4,5$ ou $5,12,13$
ensuite, on efface les pointillés et on assemble $9\times 8$ rectangles pour obtenir un carré de côté $504$

Bonjour,

@Domi : Quel est le plus petit carré à côté entier pouvant être découpé en triangles non isocèles et non rectangles à côtés entiers ?
Personne ne sait répondre puisque la conjecture pour le carré n'est pas démontrée vraie ou fausse.

Si tu demandes avec la méthode que j'ai proposée alors c'est $3.$

On considère $(x,y; e) = (840/1681, 1870/1681; 3/4)$ ... je te laisse faire les calculs on trouve $a=50/41, b=187/164, c=45/164, d=21/41$ et les triangles ne sont ni isocèles ni rectangles. On trouve donc un carré de côtés $3.$

C'est le plus petit construit ainsi parce l'équation $t = -e + \sqrt{e^2+1}$ admet comme plus petit $e=3/4 \in \Q$ pour $t=1/2 \in \Q.$ Le $3/4$ vient du triangle pythagoricien $3-4-5$ qui est le plus petit non dégénéré.

Du moins c'est ce que j'affirme. Qui fait mieux ?

Bonjour,
Voir ci-dessous le rectangle qui fournit par assemblages, la première solution de YvesM.
les triplets pythagoriciens utilisés sont des multiples de $(8,15,17) ; (44,117,125) ; (220,459,509)$
Comment YvesM a-t-il obtenu trouvé son rectangle ? Mystère.

Pour la solution que j'ai proposée, je me suis référé à une recherche que j'avais menée à la main pour le calibrage d'un exercice pour des élèves de Troisième-Seconde. Voir par ici : Oracle à distances

Je ne comprends pas la description de la deuxième solution de YvesM: le point $M$ qu'il indique est extérieur au rectangle $ABCD$, non ?

YvesM proposait le transfert de cette discussion dans Shtam. J'y suis favorable. Dans mon esprit, ce sous-forum est un espace d'échanges à partir de conjectures et pas une poubelle...

Bonjour,

Je n’ai pas demandé que cette discussion soit transférée dans Shtam. Où alors à l’insu de mon plein gré

Pour ma solution, effectivement je pensais à tort qu’il fallait un rectangle avec bien le plus petit $e$ lorsque les dimensions du rectangle sont $1$ et $e$.
Je me suis planté sur le point $M$ qui se retrouve hors du rectangle. Mais c’est un détail car les points $M$ convenables et donc à distances rationnelles des quatre sommets du rectangle sont denses dans le plan. On peut donc en trouver partout. Je comprends maintenant qu’il faut en trouver qui sont aussi proche de $1$ que possible pour obtenir le plus petit carré.

Pour répondre sur le comment pour trouver les points à distances rationnelles dans un rectangle et montrer qu’ils sont denses dans le plan, voici la méthode :
- on considère dans le plan euclidien un rectangle de côté $1$ et $e$ et un point quelconque $M(x,y)$
- on écrit les quatre distances aux quatre sommets
- par différence de deux équations on trouve explicitement $x$ et avec les deux équations on trouve $y$
- on parametrise la relation $a^2-b^2=c^2-d^2$ par $a-b=(c-d)/t, a+b=(c+d)t$ d’où l’on tire $a$ et $b$ selon les autres paramètres
- on injecte le tout et après 15 minutes de calcul simple mais pénible on obtient une équation en $t$...
- cette équation est merdique et il faut la simplifier pour avancer : on se rend compte que, si $t^2+2 e t-1=0$ alors elle se simplifie énormément. On fait donc cette hypothèse. Si j’etais moins nul en maths sur les courbes elliptiques, je réaliserai que cette simplification est due à la structure de l’équation sans doute associée aux symétries et à la théorie sur les points rationnels sur de telles courbes. Mais bon, à mon niveau, c’est juste une simplification pour pouvoir avancer.
- on obtient alors explicitement les équations donnant $x,y$ selon $t$ et deux autres paramètres $u,v$ sous forme d’une fraction polynomiale : il suffit que $t,u,v$ soient rationnels pour que $x,y$ et les quatre distances aux sommets le soient aussi.
- on montre qu’elles couvrent tout le plan par continuité et limites des paramètres
- on se dit : mais alors j’ai résolu explicitement le problème pour le carré ! Mais quand on fait $e=1$, $t$ est irrationnel et c’est exclu pour garder $x,y$ rationnels (ils le sont nécessairement pour avoir des distances rationnelles aux sommets)
- on a quand même résolu le problème pour le rectangle non carré.

C’est assez long à écrire : le mieux serait de trouver une référence ‘rational distances to a rectangle ´. Mais je n’ai pas l’ordinateur sous la main. Si vous ne trouvez pas, j’écrirai les équations.

Salut YvesM,
Merci pour tes explications. Je n'ai pas encore eu le temps de les comprendre. j'étais en train de bidouiller ton rectangle en retournant les segments qui se trouvaient à l'extérieur. Voir ci-dessous.
Il faut cependant constater que si l'on veut des longueurs entières, comme le souhaitait Domi, ces entiers ne sont pas franchement petits…
Amicalement. jacquot

Merci YvesM, pour ces références.
Ça calme ! Notons que dans le document Arxiv, on retrouve, page 7, les rectangles $\dfrac{13}{12}$ et $\dfrac 9 8$ qui nous ont occupés plus haut, mais pas le $\dfrac {8236}{5043}$ bricolé ci-dessus.

Pour en revenir à la question initiale d'Apollonius,
YvesM a donné la description d'un partage du carré en 624 triangles ni rectangles ni isocèles à côtés rationnels.
Reprenant son idée, j'ai présenté ci-dessus un partage du carré en 288 triangles.
On peut simplifier pour se ramener à un découpage en 36 triangles, voire 32 triangles. Qui dit moins ?

Edit : je vois à présent une solution à $16$ triangles

La voici, Domi :

Explication : mon carré résulte de la juxtaposition de quatre rectangles : deux $a=\frac{12}{11}$ selon le document Arxiv, et les deux autres sont des $a=\frac {13}{12}$ tournés.
Après , il faut juste bricoler un peu avec les fractions et GeoGebra ;-).

Au sujet de la question que j'ai posée: http://www.les-mathematiques.net/, si on considère $3$ points $A,B,C$ de coordonnées $(0,m), (0,0)$ et $(n,0)$ entières, et si on a un quatrième point $D$ tel que les distances $AD,BD$ et $CD$ soient entières, alors $D$ est aussi à coordonnées entières.
Mais on ne peut pas raisonner de proche en proche, car si l'angle $ABC$ n'est par exemple plus droit, il est faux que $D$ soit alors nécessairement à coordonnées entières.
Exemple:
$A=(14,-48), B=(0,0)$ et $C=(-17,144)$ et $D=(\frac{806}{5},-\frac{792}{5})$. On a alors $AB$ et $BC$ appartiennent à $\N$ et $AD=184$, $BD=226$ et $CD=351$.