Toile d'araignée

Si je comprends, A. cherche une figure comme la suivante dans laquelle les coordonnées des extrémités et les longueurs des segments rouges sont rationnelles.

Le client est roi.

Bonsoir,

$(r_1, r_2) = (\frac {4 \sqrt 2}{7}, \frac {1}{7})$ donne $l_1=l_2=\frac {5}{7}$. On peut donc tisser une toile qui plaira à Apollonius.

Cordialement,

Paul

Bonjour Domi,

Je ne suis pas sûr de bien comprendre ton message:

1) Es-tu ou non d'accord que ma solution répond au cahier des charges?
2)Peux-tu davantage expliquer qui sont tes $a, b,c,d,e,f,g$?

Amicalement

Paul

Bonsoir,
pour me faire pardonner mon "$(r_1, r_2) = (\frac {4 \sqrt 2}{7}, \frac {1}{7})$ donne $l_1=l_2=\frac {5}{7}$" tombé des nues.

Soient
$O(0,0), M_0(1,0), A_1(1,1), B(0,1)$,
$a_0>2, 0<a_2<1, A_0(a_0,0),A_2(0,a_2)$,
$A_0 A_1 M_0 $ et $A_1A_2B$ triangles aux côtés rationnels,
$\sigma$ la similitude $(O, \frac {\pi}{2}, \frac {a_2}{a_0})$
$h$ l'homothétie $(O, \frac {1}{a_0})$ Alors, les suites $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ et $(c_n)_{n\in \mathbb N}$ des rayons et des côtés de la "spirale" $A:=(A_n)_{n\in \mathbb N}:=$ pour tout $n$, $A_{n+2}= \sigma({A_n}) $ sont strictement décroissantes, et $(a_{2n})_{n\in \mathbb N}$ et $(c_n)_{n\in \mathbb N}$ sont des suites de rationnels.

Preuve élémentaire (sauf erreur!) sur demande ;-). Pourquoi $a_0>2, 0<a_2<1$? Par précaution: ça suffit à assurer la stricte décroissance de $(c_n)_{n\in \mathbb N}$.

Bien sûr $h(A)$ est une suite pour Apollonius.

Dès qu'on se donne deux naturels $0<u_0 <v_0$, $a_0 =1+\dfrac {\max(v_0^2-u_0^2,2u_0v_0)}{\min(v_0^2-u_o^2,2u_0v_0)}$ convient.
Dès qu'on se donne deux naturels $0<u_2 <v_2$, $a_2 =1-\dfrac {\min(v_2^2-u_2^2,2u_2v_2)} {\max(v_2^2-u_2^2,2u_2v_2)}$ convient.
C'est dire qu'elles sont nombreuses les spirales d'Apollonius!
Amicalement
Paul

Salut Domi,

J'ai pris en compte ta remarque que l'unique solution que j'ai initialement proposée avait le défaut d'être trop particulière au sens que la suite des côtés n'était pas strictement décroissante ("ils marchent par deux (sic))". J'ai aussi pensé que la question originelle d'Apollonius pouvait n'être pas si claire que tu le dis et qu'un esprit (tordu?) pourrait l'interprêter ainsi: " je veux une spirale dont et les côtés et les rayons décroissent. J'ai ouvert mon parapluie en rajoutant "strictement" après "décroissent". Je note que sur ton dessin ton $OM_0$ me semble plus petit que ton $OM_1$ et que donc il ne conviendrait pas à un esprit tordu ;-).
Je maintiens que (sauf erreur) mes dernières spirales répondent à mon nouveau cahier des charges.

Bien à toi

Paul

Bonjour,
Je suis nouvelle sur ce site et je suis tombée par hasard sur votre forum qui m'intéresse vivement. Je suis animatrice de loisirs créatifs et l'une des adhérentes de l'association voudrait reproduire ce dessin. Je pense qu'il s'agit de géométrie, pourriez-vous m'aider. Je vous remercie vivement

@SPLC Quel genre de renseignements veux tu ?

Tu construis une roue régulière avec huit rayons centrée sur une feuille A4.
Sur un rayon tu poses un point à 10cm du centre.
Sur le rayon suivant tu poses un point à 9cm du centre; $9=10\times 0.9$
Sur le rayon suivant tu poses un point à 8.1cm du centre; $8.1=9\times 0.9$
Sur le rayon suivant tu poses un point à 7.29cm du centre; $7.29=8.2\times 0.9$

Et ainsi de suite, en multipliant toujours par 0.9.

Bon succès. J'aime bien tes couleurs.