Triangle 3-4-5
dans Géométrie
Bonsoir à tous.
Connaissez-vous une construction exacte du triangle 3-4-5 à partir de son hypoténuse ? À la règle et au compas, comme du temps de Pythagore ?
Je pose cette question car je cherche un moyen de diviser un segment en cinq parties égales ...
Il y a bien cette construction approchée que je viens de retrouver (ou peut-être de trouver, mais j'en serais le premier surpris ...) et qui me semble assez satisfaisante si l'on n'exige pas une grande précision :
On part du segment AB, qui sera l'hypoténuse, de longueur 5, et l'on construit un demi-cercle de diamètre AB, sur lequel on construit les points E et F, extrémités respectives des arcs d'origine A et de mesures pi/4 et pi/3, puis le point G symétrique de E par rapport à F, et le point H, extrémité du rayon porté par la demi-droite passant par G ; autrement dit, H est l'intersection du demi-cercle et de la droite OG (O est le milieu de AB).
Comme vous pouvez le voir sur la figure jointe, AHB est presque un triangle 3-4-5 ...
Pour diviser AB en 5, il suffit alors de diviser BH en 4 et de tracer des arcs de cercle de centre B ...
Merci de me dire ce que vous en pensez ...
Bien cordialement
JLBrl
Connaissez-vous une construction exacte du triangle 3-4-5 à partir de son hypoténuse ? À la règle et au compas, comme du temps de Pythagore ?
Je pose cette question car je cherche un moyen de diviser un segment en cinq parties égales ...
Il y a bien cette construction approchée que je viens de retrouver (ou peut-être de trouver, mais j'en serais le premier surpris ...) et qui me semble assez satisfaisante si l'on n'exige pas une grande précision :
On part du segment AB, qui sera l'hypoténuse, de longueur 5, et l'on construit un demi-cercle de diamètre AB, sur lequel on construit les points E et F, extrémités respectives des arcs d'origine A et de mesures pi/4 et pi/3, puis le point G symétrique de E par rapport à F, et le point H, extrémité du rayon porté par la demi-droite passant par G ; autrement dit, H est l'intersection du demi-cercle et de la droite OG (O est le milieu de AB).
Comme vous pouvez le voir sur la figure jointe, AHB est presque un triangle 3-4-5 ...
Pour diviser AB en 5, il suffit alors de diviser BH en 4 et de tracer des arcs de cercle de centre B ...
Merci de me dire ce que vous en pensez ...
Bien cordialement
JLBrl
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Réponses
Pourquoi choisir cette méthode à partir du triangle ?
Pour diviser un segment en $n \in \N^*$ parts égales à la règle et au compas, on sait le faire sans peine, non ?
Voici comment diviser un segment en $n \geq 1$ parts égales :
Soit $[AB]$ le segment à diviser.
1. On trace une demi-droite issue de $A$ (qui ne passe pas par $B$).
2. Au compas, on choisit un écartement (non nul) et on le reporte le long de cette demi-droite à partir de $A$ : on obtient les points $A_1, A_2, A_3, \cdots, A_n.$
3. On repère au compas l'écartement $[AA_n]$ et on trace le cercle centré en $B$ avec cet écartement.
4. On repère au compas l'écartement $[BA_n]$ et on trace le cercle centré en $A$ avec cet écartement.
5. Un des points d'intersections des deux cercles $C$ est tel que $ACBA_n$ est un parallèlogramme non croisé puisque c'est un quadrilatère avec des côtés opposés égaux deux à deux.
6. On repère l'écartement $[AA_1]$ et on le reporte le long du segment $[CB]$ à partir de $C$ : on obtient les points $B_1, B_2, B_3, \cdots, B_n=B.$
7. On trace les droites $[A_1B_1], [A_2B_2], \cdots, [A_nB]$ qui coupent le segment $[AB]$ en $C_1, C_2, C_3, \cdots, C_n=B. $ Thalès permet de conclure que le segment $[AB]$ est partagé en $n$ parts égales par les points $C_1, C_2, C_3, \cdots, C_n=B. $
Je viens de voir la méthode classique fondée sur le théorème de Thalès et indiquée sur le site de P. Debart, et en fait, de la revoir, car je suis sûr d'avoir déjà consulté cette page-là, mais je ne m'en souvenais plus ! Au temps pour moi !
Ceci dit, cette construction approchée du triangle 3-4-5 est-elle intéressante en soi, ou n'est-elle qu'anecdotique ?
Bonne soirée, bien cordialement
JLBrl
PS Je n'avais pas lu entièrement ton message avant de chercher le site en question. Merci beaucoup d'avoir pris la peine de me donner tous les détails de cette méthode !
Si tu me demandes, alors ma réponse est que les constructions approchées ne servent à rien sachant, en l'occurence pour le triangle 3-4-5 et à partir de l'hypothénuse, qu'on peut faire une construction exacte à la règle et au compas.
Donc, il ne me reste plus qu'à chercher comment faire ... ;-)
Merci de m'avoir remis sur les bons rails !
Bien cordialement
JLBrl
Mais tu n'as rien à chercher ! Tu coupes l'hypothénus en cinq (j'ai écrit comment faire), tu traces la médiatrice (au compas) et donc à l'intersection tu trouves le centre du cercle de diamètre l'hypothènuse. Tu traces un cercle de rayon trois à partir d'une extrémité de l'hypothènuse. Voilà !
Merci d'avoir confirmé d'avance, c'est effectivement ce à quoi je viens de penser en m'y remettant !
Bien cordialement
JLBrl