S'il vous plaît comment trouver la constante c qui fait que la droite $$\sqrt{2}x+y=c$$ soit tangente à l'ellipse $$
\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1
$$ Merci beaucoup.
Bonjour Topo29
Tu écris que le polynôme du second degré en $x$:
$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{(c-x\sqrt{2})^2} 9-1$ a une racine double.
Bon courage!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Tu peux écrire le système qui donne les intersections éventuelles entre la droite et l'ellipse, puis éliminer y. Tu auras une équation du second degré en x; les valeurs de c qui conviennent sont celles pour lesquelles cette équation a une racine double.
Le(s) point(s) d'intersection entre l'ellipse et la droite d'équation $x\sqrt2+y=c$ s'obtien(nen)t en résolvant le système. Pour cela, on peut par exemple exprimer $y$ en fonction de $x$ dans l'équation de la droite et reporter dans l'équation de l'ellipse (c'est parce que la droite n'est pas verticale). Cela donne une équation de degré $2$ en $x$.
Quand est-ce que la droite est tangente ? Quand il y a un et un seul point d'intersection, c'est-à-dire que l'équation en $x$ a alors une seule racine (double). Tu sais exprimer cela, n'est-ce pas ?
Précisément. Ce n'est donc pas la bonne condition. Quelle est la condition pour avoir une racine double ?
Peux-tu écrire l'équation en $x$ et ton calcul du discriminant ?
Salut, pour avoir une solution double il faut que delta soit nul. J'ai bien mangé puis j'ai refait le calcul et j'ai trouvé $$
41 x^2 -(32\sqrt{2} c) x +(16 c^2-144)
$$ le delta est $$
\Delta=-2112 c^2 +23616
$$ pour que $\Delta=0$ il faut que $c=\pm\sqrt{\frac{123}{11}}$
Ah oui, tiens, c'est $2112$ au-dessus qui est faux. (Pourtant, j'avais réussi à factoriser $11$ dans $123$... ce que c'est que l'auto-suggestion, quand même !)
Bonsoir, pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice ?
On muni l'espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ par [de] la norme $$
\|(x,y)\|= \sqrt{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}}
$$ Prouvez que $u(x,y)=\sqrt{2}x+y$ est une application linéaire continue sur $\mathbb{R}^2$
La linéarité est claire mais comment montrer la continuité ? C'est-à-dire montrer que $\quad \|u\|\leq c $ où $$\|u\|= \sup_{\|(x,y)\|\leq 1} \|u(x,y)\|
$$ On ma suggéré de trouver $c$ tel que $ \sqrt{2} x+y=c$ soit tangente à l'ellipse $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ et j'ai trouvé http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1702118,1702118#msg-1702118 $c=\pm \sqrt{41}$ mais je ne sais pas quoi en faire exactement.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
As-tu compris pourquoi on t'a suggéré cela ? Manifestement non. Alors reprends le problème au départ :
$\|u\|= \sup_{\|(x,y)\|\leq 1} \|u(x,y)\| = ...$
Le calcul sera plus laborieux, le truc avec l'ellipse simplifie pour ceux qui en connaissent suffisamment, mais comme tu ne le comprends pas, inutile de perdre ton temps.
Bon travail !
NB : Il n'était pas nécessaire d'ouvrir un nouveau fil.
Les points $(x,y)$ sur une ellipse $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $(a,b>0$) sont exactement ceux de la forme $(a\cos(t),b\sin(t))$. ça devrait être facile, ensuite...
Maintenant que tu as traduit, vois-tu un rapport avec l'ellipse ?
Rappel : Dire, pour un nombre positif A, que $\sqrt A = 1$, c'est simplement dire A=1.
Que se passe-t-il pour la droite d'équation $x\sqrt 2 +y= c$ lorsque c varie, par exemple augmente de -20 à 20, en passant par $-\sqrt{41}$ puis $\sqrt{41}$ ?
Donc le maximum de $c=x\sqrt 2 +y$ lorsque $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$. Donc où se trouve le point de coordonnées $(x,y)$ ? et combien peut valoir c ?
En fait, tu as perdu une valeur absolue en route, tu veux le maximum de $|x\sqrt 2 +y| = |c|$
Oublie la tangente pour l'instant. M(x,y) n'est pas seulement sur l'ellipse, mais aussi sur une des droites, puisque c'est la quantité $\sqrt{2} x+y= c$ qui t'intéresse. Compte tenu de ton calcul du début, dans quel intervalle est c ? Quel est le maximum de |c| ?
Quand tu auras terminé cet exercice, je reviendrai sur l'idée géométrique qui est derrière, qui a guidé l'indication, mais qui n'est pas nécessaire pour conclure.
Pour développer l'argument... Pour $c$ réel donné, la fonction $g$ prend la valeur $c$ en au moins un point de l'ellipse si et seulement si la ligne de niveau $c$ de la fonction $g:(x,y)\mapsto x\sqrt2+y$ coupe l'ellipse. Les calculs du début (pour chercher la tangente) montrent que c'est équivalent à dire que $c$ appartient à l'intervalle $[-\sqrt{41},\sqrt{41}]$. Il en résulte que le maximum de $g$ sur l'ellipse est $\sqrt{41}$ et que le minimum est $-\sqrt{41}$.
Attendons que Gérard présente l'argument géométrique qui incite à parler de tangente, puis je vais essayer de faire un dessin.
Alors d'où vient l'idée de la droite, de l'ellipse, et des tangentes : la condition sur $x$ et $y$ dit que $M(x,y)$ est sur l'ellipse $E$ d'équation $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$. Pour un point $M(x,y)$ de l'ellipse, on s'intéresse à la quantité $|\sqrt{2} x+y|$, qui a une certaine valeur, et on veut que cette valeur soit maximale. De même qu'on a reconnu une ellipse dans la condition transformée, on voit qu'on est près d'une équation de droite, $\sqrt{2} x+y = c$ pour la quantité à maximiser en valeur absolue, et $c$ est justement la valeur qui nous intéresse.
Ensuite, c'est de la géométrie élémentaire : dans le plan repéré par un repère orthonormal, les droites d'équations $\sqrt{2} x+y = c$ sont des parallèles, elles coupent l'axe des $y$ en $N(0,c)$, donc quand $c$ augmente, elles "montent" en passant par toutes les positions possibles. Au passage, elles viendront couper l'ellipse quand $c$ sera suffisamment grand, puis ne la couperont plus quand $c$ sera devenu trop grand. Donc il y a un intervalle $[a, b]$ de valeurs de $c$ pour lesquelles il y a un point $M$, $a$ et $b$ correspondant à des positions limites de sécantes de l'ellipse, donc ... à des tangentes. Mais ce qui compte n'est pas les tangentes (*), mais le fait que le minimum de $c$ est $a$ et son maximum est $b$ ; on en déduit que le maximum de $|c|$ est le plus grand des deux nombres $|a|$ et $|b|$. Dans ton cas, $a$ et $b$ sont opposés et ont la même valeur absolue.
Cordialement.
(*) ce n'est pratique que si on connaît bien les tangentes des coniques.
Dans la première figure sont représentés l'ellipse (en bleu) et plusieurs lignes de niveau de la fonction $(x,y)\mapsto x\sqrt{2}+y$, c'est-à-dire plusieurs droites d'équation $x\sqrt{2}+y=c$ (la valeur de $c$ est indiquée au plus près de la droite). En orange, les valeurs pour $c=\pm\sqrt{41}$ pour lesquelles on a des tangentes.
La deuxième figure est dans l'espace. Le parallélogramme grisâtre du bas représente le plan $Oxy$ (d'équation $z=0$), l'autre le plan d'équation $z=\sqrt{41}$.
L'ellipse est représentée dans les deux plans. On peut imaginer un cylindre vertical qui a ces ellipses pour bases.
En bleu-gris, c'est le graphe de la fonction $g:(x,y)\mapsto x\sqrt{2}+y$. La droite orange du haut a donc pour équations $z=x\sqrt{2}+y$ et $z=\sqrt{41}$ ; elle se projette « verticalement » sur la droite orange du bas, qui a pour équation $x\sqrt{2}+y=\sqrt{41}$ dans le plan $Oxy$.
La troisième figure, c'est la même chose avec $c=6$ : les plans $z=0$ et $z=6$, les ellipses représentées dans ces deux plans, l'intersection du plan $z=6$ avec le graphe de $g$ (droite grise du haut) et sa projection dans le plan $z=0$ (droite grise du bas). La quatrième figure, c'est la même chose avec le cylindre et l'intersection du cylindre et du plan en plus.
Réponses
Tu écris que le polynôme du second degré en $x$:
$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{(c-x\sqrt{2})^2} 9-1$ a une racine double.
Bon courage!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Tu peux écrire le système qui donne les intersections éventuelles entre la droite et l'ellipse, puis éliminer y. Tu auras une équation du second degré en x; les valeurs de c qui conviennent sont celles pour lesquelles cette équation a une racine double.
Bon travail !
Quand est-ce que la droite est tangente ? Quand il y a un et un seul point d'intersection, c'est-à-dire que l'équation en $x$ a alors une seule racine (double). Tu sais exprimer cela, n'est-ce pas ?
Edit : grillé et surgrillé !
Es-tu sûr.e de tes calculs par ailleurs ?
C'est toi le problème!
Il faut t'améliorer en calcul et aussi en orthographe et en syntaxe!
Amicalement
[small]p[/small]appus
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Il n'y a pas de solution réelle.
Peux-tu écrire l'équation en $x$ et ton calcul du discriminant ?
J'ai bien mangé puis j'ai refait le calcul et j'ai trouvé $$
41 x^2 -(32\sqrt{2} c) x +(16 c^2-144)
$$ le delta est $$
\Delta=-2112 c^2 +23616
$$ pour que $\Delta=0$ il faut que $c=\pm\sqrt{\frac{123}{11}}$
Oui, reprends les calmement.
Si tu disposes d'un logiciel de géométrie (Geogebra, cabri...), tu peux vérifier toi même.
On muni l'espace vectoriel $\mathbb{R}^2$ par [de] la norme $$
\|(x,y)\|= \sqrt{\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}}
$$ Prouvez que $u(x,y)=\sqrt{2}x+y$ est une application linéaire continue sur $\mathbb{R}^2$
La linéarité est claire mais comment montrer la continuité ? C'est-à-dire montrer que $\quad \|u\|\leq c $ où $$\|u\|= \sup_{\|(x,y)\|\leq 1} \|u(x,y)\|
$$ On ma suggéré de trouver $c$ tel que $ \sqrt{2} x+y=c$ soit tangente à l'ellipse $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ et j'ai trouvé http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1702118,1702118#msg-1702118 $c=\pm \sqrt{41}$ mais je ne sais pas quoi en faire exactement.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur le sujet. AD]
As-tu compris pourquoi on t'a suggéré cela ? Manifestement non. Alors reprends le problème au départ :
$\|u\|= \sup_{\|(x,y)\|\leq 1} \|u(x,y)\| = ...$
Le calcul sera plus laborieux, le truc avec l'ellipse simplifie pour ceux qui en connaissent suffisamment, mais comme tu ne le comprends pas, inutile de perdre ton temps.
Bon travail !
NB : Il n'était pas nécessaire d'ouvrir un nouveau fil.
Mel.
Rappel : Dire, pour un nombre positif A, que $\sqrt A = 1$, c'est simplement dire A=1.
Que se passe-t-il pour la droite d'équation $x\sqrt 2 +y= c$ lorsque c varie, par exemple augmente de -20 à 20, en passant par $-\sqrt{41}$ puis $\sqrt{41}$ ?
En fait, tu as perdu une valeur absolue en route, tu veux le maximum de $|x\sqrt 2 +y| = |c|$
Quand tu auras terminé cet exercice, je reviendrai sur l'idée géométrique qui est derrière, qui a guidé l'indication, mais qui n'est pas nécessaire pour conclure.
$$
\begin{cases}
|\sqrt{2} x+y|=|c|\\
\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1
\end{cases}
$$
Quand tu auras repris tes esprits, reprends le problème du début et reviens avec des propositions saines.
Attendons que Gérard présente l'argument géométrique qui incite à parler de tangente, puis je vais essayer de faire un dessin.
Alors d'où vient l'idée de la droite, de l'ellipse, et des tangentes : la condition sur $x$ et $y$ dit que $M(x,y)$ est sur l'ellipse $E$ d'équation $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$. Pour un point $M(x,y)$ de l'ellipse, on s'intéresse à la quantité $|\sqrt{2} x+y|$, qui a une certaine valeur, et on veut que cette valeur soit maximale. De même qu'on a reconnu une ellipse dans la condition transformée, on voit qu'on est près d'une équation de droite, $\sqrt{2} x+y = c$ pour la quantité à maximiser en valeur absolue, et $c$ est justement la valeur qui nous intéresse.
Ensuite, c'est de la géométrie élémentaire : dans le plan repéré par un repère orthonormal, les droites d'équations $\sqrt{2} x+y = c$ sont des parallèles, elles coupent l'axe des $y$ en $N(0,c)$, donc quand $c$ augmente, elles "montent" en passant par toutes les positions possibles. Au passage, elles viendront couper l'ellipse quand $c$ sera suffisamment grand, puis ne la couperont plus quand $c$ sera devenu trop grand. Donc il y a un intervalle $[a, b]$ de valeurs de $c$ pour lesquelles il y a un point $M$, $a$ et $b$ correspondant à des positions limites de sécantes de l'ellipse, donc ... à des tangentes. Mais ce qui compte n'est pas les tangentes (*), mais le fait que le minimum de $c$ est $a$ et son maximum est $b$ ; on en déduit que le maximum de $|c|$ est le plus grand des deux nombres $|a|$ et $|b|$. Dans ton cas, $a$ et $b$ sont opposés et ont la même valeur absolue.
Cordialement.
(*) ce n'est pratique que si on connaît bien les tangentes des coniques.
Bonne idée, Math Coss !
La deuxième figure est dans l'espace. Le parallélogramme grisâtre du bas représente le plan $Oxy$ (d'équation $z=0$), l'autre le plan d'équation $z=\sqrt{41}$.
L'ellipse est représentée dans les deux plans. On peut imaginer un cylindre vertical qui a ces ellipses pour bases.
En bleu-gris, c'est le graphe de la fonction $g:(x,y)\mapsto x\sqrt{2}+y$. La droite orange du haut a donc pour équations $z=x\sqrt{2}+y$ et $z=\sqrt{41}$ ; elle se projette « verticalement » sur la droite orange du bas, qui a pour équation $x\sqrt{2}+y=\sqrt{41}$ dans le plan $Oxy$.
La troisième figure, c'est la même chose avec $c=6$ : les plans $z=0$ et $z=6$, les ellipses représentées dans ces deux plans, l'intersection du plan $z=6$ avec le graphe de $g$ (droite grise du haut) et sa projection dans le plan $z=0$ (droite grise du bas). La quatrième figure, c'est la même chose avec le cylindre et l'intersection du cylindre et du plan en plus.