Tangente à une ellipse

Bonjour Topo29
Tu écris que le polynôme du second degré en $x$:
$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{(c-x\sqrt{2})^2} 9-1$ a une racine double.
Bon courage!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Le(s) point(s) d'intersection entre l'ellipse et la droite d'équation $x\sqrt2+y=c$ s'obtien(nen)t en résolvant le système. Pour cela, on peut par exemple exprimer $y$ en fonction de $x$ dans l'équation de la droite et reporter dans l'équation de l'ellipse (c'est parce que la droite n'est pas verticale). Cela donne une équation de degré $2$ en $x$.

Quand est-ce que la droite est tangente ? Quand il y a un et un seul point d'intersection, c'est-à-dire que l'équation en $x$ a alors une seule racine (double). Tu sais exprimer cela, n'est-ce pas ?

Edit : grillé et surgrillé !

Quand « le delta est (strictement) négatif », combien y a-t-il de solutions à l'équation ?

Es-tu sûr.e de tes calculs par ailleurs ?

Très juste!

Mhm en dimension finie, toute application linéaire n'est-elle pas continue ?

Maintenant que tu as traduit, vois-tu un rapport avec l'ellipse ?
Rappel : Dire, pour un nombre positif A, que $\sqrt A = 1$, c'est simplement dire A=1.

Que se passe-t-il pour la droite d'équation $x\sqrt 2 +y= c$ lorsque c varie, par exemple augmente de -20 à 20, en passant par $-\sqrt{41}$ puis $\sqrt{41}$ ?

Ce qui va te donner la réponse pour ton maximum ...

Tu veux le maximum de quoi ? Dans quelle condition ? (réponds en français)

Donc le maximum de $c=x\sqrt 2 +y$ lorsque $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$. Donc où se trouve le point de coordonnées $(x,y)$ ? et combien peut valoir c ?

En fait, tu as perdu une valeur absolue en route, tu veux le maximum de $|x\sqrt 2 +y| = |c|$

Oublie la tangente pour l'instant. M(x,y) n'est pas seulement sur l'ellipse, mais aussi sur une des droites, puisque c'est la quantité $\sqrt{2} x+y= c$ qui t'intéresse. Compte tenu de ton calcul du début, dans quel intervalle est c ? Quel est le maximum de |c| ?

Quand tu auras terminé cet exercice, je reviendrai sur l'idée géométrique qui est derrière, qui a guidé l'indication, mais qui n'est pas nécessaire pour conclure.

??????????????
Quand tu auras repris tes esprits, reprends le problème du début et reviens avec des propositions saines.

Oui, Topo298, c'est tout.

Alors d'où vient l'idée de la droite, de l'ellipse, et des tangentes : la condition sur $x$ et $y$ dit que $M(x,y)$ est sur l'ellipse $E$ d'équation $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$. Pour un point $M(x,y)$ de l'ellipse, on s'intéresse à la quantité $|\sqrt{2} x+y|$, qui a une certaine valeur, et on veut que cette valeur soit maximale. De même qu'on a reconnu une ellipse dans la condition transformée, on voit qu'on est près d'une équation de droite, $\sqrt{2} x+y = c$ pour la quantité à maximiser en valeur absolue, et $c$ est justement la valeur qui nous intéresse.
Ensuite, c'est de la géométrie élémentaire : dans le plan repéré par un repère orthonormal, les droites d'équations $\sqrt{2} x+y = c$ sont des parallèles, elles coupent l'axe des $y$ en $N(0,c)$, donc quand $c$ augmente, elles "montent" en passant par toutes les positions possibles. Au passage, elles viendront couper l'ellipse quand $c$ sera suffisamment grand, puis ne la couperont plus quand $c$ sera devenu trop grand. Donc il y a un intervalle $[a, b]$ de valeurs de $c$ pour lesquelles il y a un point $M$, $a$ et $b$ correspondant à des positions limites de sécantes de l'ellipse, donc ... à des tangentes. Mais ce qui compte n'est pas les tangentes (*), mais le fait que le minimum de $c$ est $a$ et son maximum est $b$ ; on en déduit que le maximum de $|c|$ est le plus grand des deux nombres $|a|$ et $|b|$. Dans ton cas, $a$ et $b$ sont opposés et ont la même valeur absolue.

Cordialement.

(*) ce n'est pratique que si on connaît bien les tangentes des coniques.

Bonne idée, Math Coss !