Dimension mais dimension de quoi exactement ?

Où es-tu ? Que sais-tu ?

Intuitivement, la dimension d'un truc, c'est le nombre de coordonnées qu'il faut pour décrire un point du truc. La dimension de $\R$, c'est $1$ parce qu'un réel est décrit par $1$ réel... La dimension d'un plan, c'est $2$ parce qu'un point du plan est décrit par deux coordonnées, c'est-à-dire par un élément de $\R^2$. Un triplet de points du plan est donc décrit par un élément de $\R^2\times\R^2\times\R^2=\R^6$ : il faut $6$ réels. C'est la dimension de $\R^6$.

Pour être plus formel, il faut un peu de bagages. Est-ce que tu connais la notion de dimension pour un espace vectoriel ? Étant donné un espace vectoriel $E$ de dimension finie (sur les réels $\R$), le choix d'une base $(e_1,\dots,e_n)$ permet de construire une bijection de $\R^n$ sur $E$ : à $(x_1,\dots,x_n)$ de $\R^n$, on associe $v=x_1e_1+\cdots+x_ne_n$ dans $E$. Ainsi, le vecteur $v$ de $E$ est décrit par les $n$ nombres réels $(x_1,\dots,x_n)$.

Parfait, avançons. La dimension du groupe des isométries, c'est un peu plus compliqué parce que le groupe des isométries n'est pas un espace vectoriel. Mais l'idée du nombre de paramètres reste valable.

Dans le plan, comment décrire une isométrie affine de $\R^2$ (dans lui-même) ? Il faut distinguer les isométries directes et les isométries indirectes. Si $f$ est une isométrie directe, il existe $(a,b,\theta)\in\R^3$ tel que \[\forall \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\R^2,\quad f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(\theta)x-\sin(\theta)y+a\\\sin(\theta)x+\cos(\theta)y+b\end{pmatrix}.\] [Esquisse de preuve : nécessairement, $(a,b)=f(0,0)$ ; l'image $I'$ de $I=(1,0)$ est à distance $1$ de celle, $O'$, de $O=(0,0)$ donc il existe $\theta$, unique à $2\pi$ près, tel que $f(1,0)=(\cos\theta+a,\sin\theta+b)$ ; l'image $J'$ de $J=(0,1)$ est à distance $1$ de celle de $O$ et l'angle $(\vec{O'I'},\vec{O'J'})$ vaut $\pi/2$ (isométrie directe), ce qui entraîne que $f(J)=(-\sin\theta+a,\cos\theta+b)$. On peut conclure parce que $f$ est affine.] Pour une isométrie indirecte, il existe $(a,b,\theta)\in\R^3$ tel que \[\forall \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\R^2,\quad f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos(\theta)x+\sin(\theta)y+a\\\sin(\theta)x-\cos(\theta)y+b\end{pmatrix}.\] [Démonstration analogue.] Dans les deux cas, tu vois qu'il faut trois paramètres pour décrire $f$. Il est raisonnable de dire que le groupe des isométries affines est de dimension $3$.

Plus simple :

• quelle pourrait être la dimension du groupe des translations du plan ? $2$, parce qu'une translation est décrite par son vecteur, lequel est décrit par ses $2$ coordonnées ;
• du groupe des isométries qui fixent un point ? $1$ parce qu'une isométrie du plan qui fixe un point, c'est soit une rotation (décrite par l'angle $\theta$ de la rotation), soit une réflexion (décrite par l'angle formé par l'axe avec une droite de référence – c'est $\theta/2$ dans les notations précédentes).

Par rapport aux isométries du plan, tu remarqueras que parler d'une translation, cela revient à fixer $\theta=0$ – il reste les $2$ paramètres $a$ et $b$ – et pour une isométrie qui fixe $O$, cela revient à fixer $a=b=0$ – il reste $1$ paramètre, $\theta$. C'est cohérent.

Plusieurs façons de voir cette dimension. Par exemple en utilisant le fait que le groupe affine agit de façon simplement transitive sur l'ensemble des repères affines du plan. Et un repère affine du plan, c'est trois points non alignés.