Espace affine

Bonsoir j'aimerais avoir des indications pour cet exercice.
Soit $\mathcal E$ un espace affine réel de dimension $n\ge 2$.
Soit $\mathcal A(\mathcal E,\mathbb R)$ l'ensemble des applications affines de $\mathcal E$ vers $\mathbb R$. Soit $\mathcal H$ un sous-ensemble non vide de $\mathcal E$.
Montrer que ${\color{red}{\not\!\mathcal E\ \mathcal H}}$ est un sous-espace affine de dimension $p$ si et seulement s'il existe $n-p$ applications affines $f_1,f_2,\ldots,f_{n-p}$ linéairement indépendant dans $\mathcal A(\mathcal E,\mathbb R)$ telle que $\mathcal H$ soit l'ensemble des points $x$ de $\mathcal E$ tels que $f_1(x)=f_2(x)=\cdots=f_{n-p}(x)=0$.
J'ai démontré le sens aller mais j'aimerais avoir les indications pour montrer le sens retour merci.
J'ai aussi pu montrer que $\mathcal H$ est un sous-espace affine le problème est de montrer que la dimension de $\mathcal H$ est $p$.

[Correction en rouge, selon l'indication de GBZM ci-dessous. AD]