De l'Affine avant toute chose

Bonjour Pappus
Si $G$ est le centre de gravité de $ABC$, le centre aréolaire et l'équicentre devraient être respectivement $G$ et $G+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{V}$.
Amicalement. Poulbot

Bonjour Pappus

"Mise à part la recherche un peu technique du centre aréolaire et de l'équicentre"
Etant données deux droites $D$ et $D^{\prime }$, si $m\in D\rightarrow m^{\prime }\in D^{\prime }$ est affine, les parallèles en $m$ à $D^{\prime }$ et en $m^{\prime }$ à $D$ se coupent sur son axe.
Ainsi, supposant que, dans le repère $\left( A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) $, on ait $\overrightarrow{V}=\left( v_{1},v_{2}\right) $ et $a=\left( 1-t,t\right) $,
on aura aussi $b=\left( 0,1-t+v_{2}\right) $ et $c=\left( t+v_{1},0\right) $.
Tous les triangles $abc$ ayant pour centre de gravité $E=G+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{V}$, ce point est l'équicentre de la $FLTI$; le centre aréolaire est $G$ puisque $E$ est son image par la transformation affine $ABC\rightarrow abc$.

"le reste de l'exercice est faisable par quiconque sait se servir de l'axiome de Thalès"
Quel est le reste de l'exercice?

Amicalement.
Poulbot