Droite d'Euler

Bonjour,

Voilà un problème posé par Antreas Hatzipolakis ce matin sur la liste Hyacinthos:

$ABC$ est un triangle de droite d'Euler $(OH)$ ($O$ le centre du cercle circonscrit $\Gamma$ et $H$ l'orthocentre).
$P$ est un point quelconque de cette droite défini par $\overrightarrow{OP}=t\overrightarrow{OH}$ ($t \in \mathbb{R}$).
$A'B'C'$ est le triangle circumcévien de $P$ par rapport à $\Gamma$
$A'',B'',C''$ sont les points diamétralement opposés à $A'B'C'$ dans $\Gamma$ .
$A^*B^*C^*$ est le triangle formé par les droites $(AA''),(BB''),(CC'')$.
$O^*$ est le centre du cercle circonscrit $\Gamma^*$ et $H^*$ est l'orthocentre du triangle $A^*B^*C^*$.
$P^*$ est le point défini par $\overrightarrow{O^*P^*}=t\overrightarrow{O^*H^*}$ avec le même $t$.

Il se demande alors pour quels points $P$ de la droite d'Euler de $ABC$ le point $P^*$ est aussi sur la droite d'Euler du même triangle $ABC$ et en cite $4$.

Avec Morley circonscrit, je trouve que c'est le cas pour tout point $P$ de la droite d'Euler de $ABC$.
L'expression de $P^*$ en fonction de $t,s_1,s_2,s_3$ est par contre assez compliquée.

Cordialement,

Rescassol