Une sphère et des plans

Bonjour à tous,

Je suis à la recherche d'une démonstration "géométrique", du problème classique suivant :

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On se place dans l'espace euclidien canonique de dimension 3.

On considère une surface S dont l'intersection avec un plan quelconque P est soit :
- l'ensemble vide
- un point
- un cercle

Montrer que S est une sphère.

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Connaissez-vous une démonstration géométrique?
Intuitivement, j'imagine un plan P , une droite D appartenant à P, et je considère l'ensemble des plans générés par rotation autour de D.
Avec ce balayage, on doit pouvoir trouver une contradiction en supposant S différent d'une sphère.
=> qu'en pensez-vous, je cherche encore, je suis un peu rouillé en géométrie.

Remarque : je ne cherche pas à prouver ce résultat connu, mais plutôt une belle* démonstration.

Merci, bonne journée,
S.
*concept flou et subjectif, j'en conviens.