Quatre angles

Mon cher Soland
Je mets le conditionnel car je ne suis pas trop sûr d'avoir compris l'énoncé de ton exercice.
Il devrait exister quatre points $A_k\vert 1\le k\le 4$ tels que $A_k\in D_k$ pour $1\le k \le 4$, les $A_k$ formant un tétraèdre régulier de centre $s$.
On intègre ce tétraèdre dans un cube de centre $s$ de façon que les sommets du tétraèdre aient pour coordonnées dans un repère orthonormé adéquat: $(a,a,a)$, $(a,-a,-a)\ $, $(-a,a,-a)$, $(-a,-a,a)$.
On termine en évaluant tes cosinus comme produits scalaires.
On devrait trouver sauf erreur de ma part:
$$
\sum_{i=1}^4 \cos \alpha_i =0\quad\text{et}\quad \sum_{i=1}^4 \cos^2 \alpha_i=\dfrac 43\
$$ Amicalement
[small]p[/small]appus

Bonjour Christoph
Je présume que tu voulais dire tétraèdre régulier.
Soit $x_{i}$ le vecteur unitaire directeur de $D_{i}$; on a $x_{i}\cdot x_{j}=\alpha $ pour $i\neq j$.
Le grammien $G\left( x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) $ étant nul (vecteurs liés), on a $\left( 1-\alpha \right) ^{3}\left( 3\alpha +1\right) =0$, soit $\alpha =-\dfrac{1}{3}$.
Du coup $\left\Vert \sum x_{i}\right\Vert ^{2}=0$.
Ton résultat en découle puisque les $x_{i}-x_{j}$, avec $i\neq j$, sont tous de norme $\sqrt{\dfrac{8}{3}}$ et $\sum x_{i}=0$
Amicalement. Poulbot.