L'homme ne montre son véritable visage qu'une fois qu'il a ôté sa culotte. (Sade)
Construction des racines d'un trinôme
dans Géométrie
Bonjour,
Dans un repère orthonormé on se donne le point $M(s, p)$.
Si $s^2 - 4p > 0$, comment construire le plus simplement possible le point ayant pour coordonnées les deux racines de $X^2 - sX + p$ ?
A+
Dans un repère orthonormé on se donne le point $M(s, p)$.
Si $s^2 - 4p > 0$, comment construire le plus simplement possible le point ayant pour coordonnées les deux racines de $X^2 - sX + p$ ?
A+
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Réponses
Construire les points!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Oui, les points (symétriques par rapport à la droite y = x).
A+
C'est avec une immense émotion que je participe à un fil de géométrie. Est-ce que tu connais le cercle de Carlyle attaché à ton point $M$ ? Cela ne répond pas directement à ta question mais peut-être qu'en te montrant ce qu'est ce cercle, tu pourras toi-même assurer une variante pour ta construction. Ainsi je participe, c'est ça qui compte.
Je salue Claude Quitté qui nous fait l'honneur de nous rendre visite.
Je ne connaissais pas le cercle de Carlyle ou plus précisément je ne connaissais pas son géniteur!
Voici la figure de Claude dans toute sa splendeur.
Elle se passe dans $\mathbb R^2$ euclidien usuel.
Le cercle rouge de diamètre $FM$ est le cercle de Carlyle.
Il coupe la droite réelle aux points d'abscisses $x_1$ et $x_2$ racines du polynôme $X^2-sX+p$.
Ces racines sont réelles si et seulement si $M(s,p)$ est à l'extérieur de la parabole noire de foyer $F(0,1)$ et de tangente au sommet la droite réelle.
La figure montre la connexion qui existe entre ces racines et les tangentes issues du point $M$ à la parabole.
Mais ceci n'a plus strictement aucune importance puisque tout ce que l'on doit savoir sur la parabole est son équation réduite.
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Sur la figure de Claude, on lit la formule $x_1x_2=p$ en évaluant la (défunte) puissance de $O(0,0)$ par rapport au cercle de Carlyle.
On lit aussi la formule $x_1+x_2=s$ en projetant orthogonalement le diamètre $FM$ sur la droite réelle.
Rebonjour. J'attache un petit quelque chose fait avec mes doigts dans le passé ; mais c'est beaucoup moins joli que la figure de Pappus.
Je vais me coucher moins schtroumpf.
Amicalement,
e.v.
Je n'avais JAMAIS ouï parler du cercle de Carlyle.
A+
Sur la figure de Claude, j'ai rajouté en bleu la construction des tangentes issues de $M$ à la parabole telle qu'on pouvait la trouver dans le Lebossé-Hemery.
On passe du bleu au rouge par une défunte homothétie de centre $F$. et de rapport $\dfrac 12$.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Dans Lebossé-Hémery Math-élem 1961 on ne parle pas de cercle de Carlyle, mais on signale que le cercle de diamètre PF coupe la tangente au sommet en des points qui sont les projections du foyer F sur les deux tangentes issues de P.
A+
La référence au forum est donnée en lien.
J'espère que les modérateurs n'y verront pas d'inconvénient ; je peux modifier...
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