Intersection de droites et de plans

Piteux_gore
Piteux_gore
dans Géométrie
Bonjour,

Soient $(P), (P'), (P'')$ trois plans parallèles ; trois droites quelconques (coplanaires ou non) coupent $(P)$ en $A, B, C$, coupent $(P')$ en $A', B', C'$ et coupent $(P'')$ en $A'', B'', C''$.

J'aurais tendance à penser que les centres de gravité des triangles $ABC, A'B'C', A''B''C''$ sont alignés.
Ai-je raison ?

A+
Arcsinus arcsinum fricat.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Si c'est vrai, tu devrais pouvoir le démontrer. Par exemple, en calculant : on peut choisir des coordonnées pour que les équations de plans parallèles soient $x=a$, $x=b$, $x=c$. Les droites sont données sous forme paramétrique $y=s_i x+ t_i$, $z=u_i x+v_i$ pour $i=1,2,3$. Vas-y !
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Oui, mais je préférerais une preuve synthétique qui s'appuie sur Thalès ou autre théorème fondamental.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    As-tu au moins fait ce (tout petit) calcul ?
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    A-t-on le droit d'invoquer les mânes de Thalès et d'utiliser son axiome pour écrire?:
    il existe $t\in \mathbb R$ tel que:
    $A''=(1-t).A+t.A'$,
    $B''=(1-t).B+t.B'$,
    $C''=(1-t).C+t.C'$
    Mais cet axiome est-il encore dans nos programmes?
    Au train où vont les choses!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Je pensais à Thalès, mais que dit-il exactement pour l'espace ?

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • Math Coss
    Math Coss
    La curiosité se soigne facilement de nos jours.
  • pappus
    pappus
    Bonsoir
    L'axiome de Thalès dit exactement ce que je viens de dire qui équivaut à:
    $$\dfrac{\overline{AA''}}{\overline{AA'}}=\dfrac{\overline{BB''}}{\overline{BB'}}=\dfrac{\overline{CC''}}{\overline{CC'}}=t$$
    Une autre façon de faire plus bourbakiste si on a oublié l'axiome de Thalès qui est si loin, si loin..., est de se rappeler que la projection sur une droite parallèlement à un plan est affine.
    Encore faut-il savoir la signification géométrique de cet adjectif!
    Maintenant comment continuer la rédaction de cet exercice?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Si je projetais $ABC$ sur le plan $(P')$ parallèlement à une direction, la nature affine de la projection conserverait le centre de gravité.

    Mais ici, comme j'ai plusieurs droites quelconques, je ne vois pas où est la projection.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Pappus te l'a déjà expliqué. Il faut lire ! Projection sur une droite parallèlement à (la direction d') un plan. Quelle direction de plan, à ton avis ?
  • pappus
    pappus
    Mon cher Piteux_gore
    Une application affine $f$ a le bon gout de conserver l'alignement et en plus de conserver le rapport des mesures algébriques
    Concrètement si $P$, $Q$, $R$ sont trois points alignés de l'espace (affine) et si $f$ est une application affine de cet espace, alors les points $P'=f(P)$, $Q'=f(Q)$, $R'=f(R)$ sont aussi alignés et en plus: $\dfrac{\overline{PQ}}{\overline{PR}}=\dfrac{\overline{P'Q'}}{\overline{P'R'}}$

    Dans le cas qui t'occupe, appelons $L_a=AA'A''$, $L_b=BB'B''$, $L_c=CC'C''$ les droites intervenantes.
    Soit $f$ la projection de l'espace sur la droite $L_a$ parallèlement à $P$. On sait qu'elle est affine.
    Compte tenu de ce que je viens de dire sur les applications affines, quelle est la conclusion que tu en tires et qui n'a rien à voir avec cette question sur les centres de gravité?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    Une petite remarque:
    La version:
    $$\dfrac{\overline{AA''}}{\overline{AA'}}=\dfrac{\overline{BB''}}{\overline{BB'}}=\dfrac{\overline{CC''}}{\overline{CC'}}=t$$
    est la version élémentaire de l'axiome de Thalès telle qu'on pouvait la trouver autrefois dans les vieux grimoires.
    Elle ne nécessitait pas la connaissance de la notion d'espace affine et était censée se passer dans l'espace, euclidien il va de soi, et la définition de la mesure algébrique $\overline{PQ}$ était très élémentaire, i.e: $\overrightarrow{PQ}=\overline{PQ}.\bf u$ où $\bf u$ est un vecteur unitaire dirigeant la droite $PQ$, en toute rigueur il aurait fallu la noter $(\overline{PQ})_{\bf u}$, d'où un petit problème technique, il fallait montrer:
    $\dfrac{(\overline{PQ})_{\bf u}}{(\overline{PR})_{\bf u}}=\dfrac{(\overline{PQ})_{-\bf u}}{(\overline{PR})_{-\bf u}}$
    D'après mes lointains souvenirs, on ne soulevait même pas ce lièvre et on écrivait sans autres états d'âme: $\dfrac{\overline{PQ}}{\overline{PR}}$
    La seconde version:
    $A''=(1-t).A+t.A'$,
    $B''=(1-t).B+t.B'$,
    $C''=(1-t).C+t.C'$
    n'est pas élémentaire.
    Elle exige la connaissance de la structure affine en général et des barycentres en particulier.
    Elle découle du fait qu'une application affine conserve les barycentres en général et que la projection de l'espace sur une droite parallèlement à un plan est affine
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • pappus
    pappus
    Bonsoir
    Cela ne nous avance pas beaucoup dans cette sombre histoire de centres de gravité qui semble être arrivée dans un point mort définitif, mais voici comment on démontrait le ''théorème" de Thalès dans l'espace en 1905.
    On peut dire qu'on a fait des progrès fulgurants en $113$ ans!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus80238
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    On a même pas besoin d'utiliser trois droites et les centres de gravité pour éprouver des difficultés.
    Déjà avec deux droites, c'est mission impossible pour nos étudiants compte tenu du néant de nos programmes actuels.
    Oublions la droite $CC'C''$ de la configuration de Piteux-Gore.
    Comment faire, par exemple, pour montrer que les milieux des segments $AB$, $A'B'$, $A''B''$ sont alignés?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Si les deux droites sont coplanaires, cela me semble assez évident ; on est ramené à un problème de géométrie plane.

    Si les deux droites sont gauches ?

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu as un problème de géométrie dans l'espace que tu veux à tout prix traiter en utilisant Thalès, et tu refuses le théorème de Thalès dans l'espace. Vachement cohérent.

    Que dit le théorème de Thalès dans l'espace (en langage "moderne") ?
    Dans l'espace affine $E$ (de dimension 3), soit $P$ un plan et $D$ une droite qui coupe $P$ en $A$. Alors la projection parallèlement à $P$ est une application affine de $E$ sur $D$.

    Tu peux le démontrer toi-même, en choisissant pour $E$ un repère affine $(A,\vec i,\vec j,\vec k)$ où $\vec D=\mathrm{vect}(\{\vec i\})$ et $\vec P= \mathrm{vect}(\{\vec j, \vec k\})$. Ce faisant, on récupère le repère affine $(A,\vec i)$ pour la droite $D$.
    Peux-tu écrire la projection en coordonnées dans ces repères ?

    [size=x-small]Si tu avais consenti à faire le petit calcul trivial que je te suggérais dès le deuxième message (où Thalès comme ci-dessus est bien sûr incorporé), tu en aurais fini depuis longtemps. Tu t'y es obstinément refusé. Je me retiens de qualifier cette attitude, mais tu peux deviner sans peine le qualificatif que j'aurais employé.[/size]
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    A, B et le milieu I de AB se projettent en A ; A', B' et I' se projettent en A'; etc.

    ???
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La projection sur la droite $D$ (la droite sur laquelle se trouvent $A, A', A''$) parallèlement à $P$ est affine (théorème de Thalès dans l'espace). ES-TU D'ACCORD ?

    Le point $B''$ est barycentre de $B$ et $B'$ pour des poids $t$ et $1-t$ (puisque $B''$ est sur la droite $(BB')$) :
    $$B''=tB+(1-t)B'\;.$$ES-TU D'ACCORD ?

    Quelles sont les images de $B,B',B''$ par la projection ? En déduire
    $$A''= {?}\; A+{?}\;A'\;.$$ Conclure sur les milieux $M,M',M''$.
  • pappus
    pappus
    Mon cher Piteux_gore
    Ce n'est pas parce qu'un problème est un problème de géométrie plane qu'il est plus évident que les autres, la preuve est que tu ne nous as proposé aucune solution dans ce cas.
    Ton problème est en fait un problème sur les barycentres et la solution à rédiger est la même en toute dimension: (droites coupées par des hyperplans parallèles)
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Comme A, A' et A'' sont les projetés de B, B' et B'', ils suivent la même formule barycentrique ; donc, les milieux de AB, A'B', A''B'' idem ; donc M, M', M'' sont alignés.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • pappus
    pappus
    Mon cher Piteux_gore
    Tu ne fais qu'affirmer ce qu'il faut démontrer!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Non Pappus. Piteux_Gore a rempli les blancs de la démonstration que je lui avais suggérée.

    Il a utilisé le théorème de Thalès dans l'espace, sous sa forme : la projection parallèlement au plan $P$ sur une droite $D$ coupant $P$ est une application affine (préservant les barycentres).
  • pappus
    pappus
    Mon cher GabuZoMeu
    Je ne suis pas tout à fait convaincu!
    Piteux_gore a écrit:
    Comme A, A' et A'' sont les projetés de B, B' et B'', ils suivent la même formule barycentrique ; donc, les milieux de AB, A'B', A''B'' idem ; donc M, M', M'' sont alignés.
    En ce qui concerne la première partie de sa phrase concernant les points $A$, $A'$, $A''$, je suis d'accord mais pas pour sa dernière partie qui concerne les milieux.
    C'est un exercice sur les barycentres!
    Tant qu'on utilise pas explicitement cette théorie, on pédale dans la semoule!
    Tant que je n'aurais pas une véritable rédaction, rédigée en bon français et impeccable mathématiquement, je ne serais pas convaincu!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Je laisse Piteux_gore ajouter LE mot qui convaincra (peut-être) Pappus.
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Je vais essayer une démonstration combinant Thalès et barycentre.
    i)
    D'après Thalès spatial, les triplets de points alignés $(A, A', A'')$, $(B, B', B'')$ et $(C, C', C'')$ forment des segments proportionnels ($AA'/AA'' = ...$).
    ii)
    On a donc $A = kA' + (1 - k)A''$, $B = kB' + (1 - k)B''$ et $C = kC' + (1 - k)C''$ avec le même $k$ partout.
    iii)
    L'addition des trois relations précédentes donne
    $A + B + C = k(A' + B' + C') + (1 - k)(A'' + B'' + C'')$.
    iv)
    Par définition de l'isobarycentre (centre de gravitéici), on a donc
    $3G = 3kG' + 3(1 - k)G''$ ou $G = kG' + (1 - k)G''$.
    v)
    La relation ci-dessus prouve que $G, G', G''$ sont alignés.

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ha, moi j'aurais vu le mot "associativité". Pappus va te demander qui est $A+B+C$.
  • pappus
    pappus
    Merci Piteux_gore
    Oui, c'est ce "calcul" que j'attendais.
    Encore faut-il être conscient de tout ce qu'il sous-entend!!
    Je prends par exemple le passage suivant:
    Piteux-gore a écrit:
    L'addition des trois relations précédentes donne
    $A + B + C = k(A' + B' + C') + (1 - k)(A'' + B'' + C'')$.
    Dans quel ensemble vivent les deux membres de cette équation et quelle est la signification algébrique du signe $+$ qu'on y voit?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    L'espace affine de dimension 3 ?

    $A + B = C$ si $C$ est le point associé au vecteur $OC = OA + OB$ ?

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • pappus
    pappus
    Mon cher Piteux_gore
    A te lire, on a l'impression qu'il suffit d'écrire l'espace affine de dimension $3$ pour savoir de quoi on parle!
    Il y a une infinité d'espaces affines de dimension $3$.
    Mais l'ensemble en question n'est pas défini comme espace affine et sa dimension n'est pas $3$.
    C'est vraiment une construction bourbakiste telle qu'on peut la trouver dans les livres de Berger ou de Mme Lelong-Ferrand.
    Il est si pratique qu'on ne s'aperçoit même pas qu'on l'utilise.
    Mais on peut s'en passer comme GaBuZoMeu semble te le suggérer mais il faut alors modifier ton raisonnement et tes équations, ce qui devrait donner au total une rédaction un peu plus longue ou un peu plus courte?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • pappus
    pappus
    Mon cher Piteux_gore
    Il y a de l'idée quand tu écris $OC=OA+OB$.
    Cela s'appelle vectorialiser en $O$!
    En fait tu as eu la flemme d'écrire:
    $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$
    On est tranquille avec des vecteurs, on peut les additionner sans remords, l'inconvénient est que ton point $C$ m'a tout l'air de dépendre de ton point $O$. Comment au fait?
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • pappus
    pappus
    Bonjour
    Je réécris la démonstration de Piteux_gore en utilisant la théorie des barycentres et en conservant son style.
    Piteux_gore a écrit:
    ii)
    On a donc $A = kA' + (1 - k)A''$, $B = kB' + (1 - k)B''$ et $C = kC' + (1 - k)C''$ avec le même $k$ partout.
    iii)
    L'addition des trois relations précédentes donne
    $A + B + C = k(A' + B' + C') + (1 - k)(A'' + B'' +C'')$.
    > iv)
    Par définition de l'isobarycentre (centre de gravité ici), on a donc
    $3G = 3kG' + 3(1 - k)G''$ ou $G = kG' + (1 - k)G''$.
    v)
    La relation ci-dessus prouve que $G, G', G''$ sont alignés.
    ii)
    Pour tout point $O$ de l'espace:
    On a donc $\overrightarrow{OA}=k\overrightarrow{OA'}+(1-k)\overrightarrow{OA''}$, $\overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{OB'}+(1-k)\overrightarrow{OB''}$, $\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OC'}+(1-k)\overrightarrow{OC''}$. avec le même $k$ partout.
    iii)
    L'addition des trois relations précédentes donne:
    $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=k(\overrightarrow{OA'}+\overrightarrow{OB'}+\overrightarrow{OC'})++(1-k)(\overrightarrow{OA''}+\overrightarrow{OB''}+\overrightarrow{OC''})$.
    iv)
    Par définition de l'isobarycentre (centre de gravité ici), on a donc:
    $3\overrightarrow{OG}=3k\overrightarrow{OG'}+3(1-k){OG''}$
    v)
    La relation ci-dessus prouve que $G,G',G''$ sont alignés.
    Et puis un jour, quelqu'un qui en avait marre d'écrire à chaque fois tous ces points $O$ et toutes ces flèches, a décidé de les laisser tomber mais ce faisant il est allé beaucoup plus loin en décidant de bourbakiser cette nouvelle façon d'écrire les choses et c'est là qu'il faut consulter le Berger ou le Lelong-Ferrand
    Pour ma part, je préfère ce second livre qui me parait beaucoup plus naturel que le premier!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    RE

    Je suis en 1800, je ne connais ni vecteurs ni barycentre ni transformations affines.

    Comment fais-je pour démontrer l'alignement des milieux ou des centres de gravité ?

    A+
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • Math Coss
    Math Coss
    1800, c'est après Descartes : tu mimes la démonstration avec des coordonnées.
  • pappus
    pappus
    Bonsoir
    Nous sommes en France en $2018$ revenu dans l'enseignement de la géométrie avant $1637$ quand Descartes avait inventé la géométrie analytique.
    Il ne nous reste plus que les axiomes de Thalès et de Pythagore à ronger.
    Heureusement pour l'exercice de Piteux_gore, le premier suffit!
    Faut pas pousser pépé dans les bégonias!
    Voici la figure (tracée dans l'espace) sur laquelle il faut méditer.
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    Punition:
    faire la figure analogue dans l'exercice sur les centres de gravité!!80270
  • Piteux_gore
    Piteux_gore
    Merci pour cette belle figure !
    Arcsinus arcsinum fricat.
  • pappus
    pappus
    Mon cher Piteux_gore
    Ma figure prouve seulement que la géométrie affine est le royaume du parallélogramme.
    Trace en suffisamment et tu viendras à bout de la configuration des centres de gravité!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonjour et merci à vous trois pour cette très instructive discussion !
    Bien cordialement
    JLB
  • pappus
    pappus
    Bonsoir
    Faire de la géométrie affine sans vecteurs sans barycentres et sans transformations affines, c'est un peu conduire une voiture sans connaitre le code de la route!
    Mais la géométrie euclidienne n'est pas mieux lotie, réduite qu'elle est à l'axiome de Pythagore!
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 1

1 Invité