Deux cercles tangents dans un rectangle
dans Géométrie
Bonsoir à tous,
Je suppose que ce sujet a déjà été abordé ici, et je m'excuse par avance auprès de ceux qui n'y verront qu'une n-ième redite :
Soit deux cercles (centres O et O'), de rayons différents, tangents extérieurement.
Construire un rectangle dont les côtés soient tangents aux deux cercles, à raison d'une paire de côtés adjacents par cercle (par exemple AB et BC tangents au cercle de centre O, et CD et DA tangents au cercle de centre O'). Déterminer les cas limites.
Montrer que l'une des diagonales du rectangle passe par le point de contact des cercles.
Trouver les relations liant les dimensions du rectangle aux rayons des cercles.
Réciproquement, construire dans un rectangle donné deux cercles tangents extérieurement et tangents chacun à deux côtés adjacents du rectangle.
Toute autre question que vous pourrez poser à propos de ce sujet sera la bienvenue !
Pour ma part et pour l'instant, je n'ai résolu que la première, et encore, en considérant comme acquis le résultat de la deuxième, ce qui, je vous le concède, n'est guère glorieux ...
Bien cordialement
Je suppose que ce sujet a déjà été abordé ici, et je m'excuse par avance auprès de ceux qui n'y verront qu'une n-ième redite :
Soit deux cercles (centres O et O'), de rayons différents, tangents extérieurement.
Construire un rectangle dont les côtés soient tangents aux deux cercles, à raison d'une paire de côtés adjacents par cercle (par exemple AB et BC tangents au cercle de centre O, et CD et DA tangents au cercle de centre O'). Déterminer les cas limites.
Montrer que l'une des diagonales du rectangle passe par le point de contact des cercles.
Trouver les relations liant les dimensions du rectangle aux rayons des cercles.
Réciproquement, construire dans un rectangle donné deux cercles tangents extérieurement et tangents chacun à deux côtés adjacents du rectangle.
Toute autre question que vous pourrez poser à propos de ce sujet sera la bienvenue !
Pour ma part et pour l'instant, je n'ai résolu que la première, et encore, en considérant comme acquis le résultat de la deuxième, ce qui, je vous le concède, n'est guère glorieux ...
Bien cordialement
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Réponses
Il existe une infinité de rectangles $ABCD$ répondant à tes spécifications pour lesquels, avec tes notations, la diagonale $BD$ passe par l'un ou l'autre des deux défunts centres d'homothéties des deux cercles qui n'ont d'ailleurs pas besoin d'être tangents extérieurement et qu'on peut donc supposer être parfaitement quelconques.
Amicalement
[small]p[/small]appus
Les quelques essais de figure que j'ai faits m'ont en effet convaincu qu'il y a une infinité de rectangles correspondant à mon problème qui, soit dit en passant, m'a été inspiré par le problème inverse de la délimitation de deux zones chauffantes circulaires de rayons différents dans une plaque de cuisson rectangulaire, problème auquel il y a aussi une infinité de solutions et dans lequel, là aussi, les deux cercles ne sont pas nécessairement tangents.
Merci de m'avoir indiqué que le cadre général pour l'étude de ce problème est celui de l'homothétie, ce à quoi je n'avais absolument pas pensé !
Voici la figure explicative de ma construction.
Bien cordialement
JLB