Médianes d'un triangle
dans Géométrie
Bonjour à tous ! Tout d'abord merci pour ce super forum.
Petit problème via un exercice de mathématique élémentaire.
Montrer que les trois médianes d'un triangle se coupent en un point. Montrer de plus que ce point d'intersection est situé sur chaque médiane à 2/3 de sa longueur en comptant du sommet.
Bon moi je l'avais démontré en admettant l'existence du centre de gravité. Mais à priori ce n'est pas ce qui est attendu...
Je pensais faire comment suit :
Soit le repère $(A, AB, AC)$.
Avec $A(0,0), B(1,0)$ et $C(0,1)$
Notre enseignant nous dis de partir comme ça. Je me place dans un triangle ABC. Et je nomme K le milieu de AB, I le milieu de BC et J le milieu de AC. Cependant je ne vois pas du tout comment démarrer.
En vous remerciant par avance,
Petit problème via un exercice de mathématique élémentaire.
Montrer que les trois médianes d'un triangle se coupent en un point. Montrer de plus que ce point d'intersection est situé sur chaque médiane à 2/3 de sa longueur en comptant du sommet.
Bon moi je l'avais démontré en admettant l'existence du centre de gravité. Mais à priori ce n'est pas ce qui est attendu...
Je pensais faire comment suit :
Soit le repère $(A, AB, AC)$.
Avec $A(0,0), B(1,0)$ et $C(0,1)$
Notre enseignant nous dis de partir comme ça. Je me place dans un triangle ABC. Et je nomme K le milieu de AB, I le milieu de BC et J le milieu de AC. Cependant je ne vois pas du tout comment démarrer.
En vous remerciant par avance,
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Réponses
Si tu fixes un repère, c'est sans doute pour écrire les coordonnées des points et les équations des droites, non ? Quelles sont donc les coordonnées de $K$ ? de $I$ ? de $J$ ? Quelles sont les équations des médianes ? Quelle est l'intersection des deux premières ? Appartient-elle à la troisième ?
Au niveau collège, ça se démontrait avec les théorèmes des milieux et les propriétés (caractéristiques) du parallélogramme en rajoutant sur la figure le point symétrique de l'intersection de deux médianes par rapport au milieu d'un côté. Mais je ne sais pas où on en est avec les programmes actuels.
Une autre démonstration intéressante repose sur la propriété caractéristique de la médiane comme segment qui partage le triangle en deux triangles d'aires égales.
Amicalement. jacquot
On voit encore les termes suivants : médiatrice d'un segment (liée à la symétrie axiale), hauteur dans un parallélogramme ou un triangle (liée à l'expression de son aire).
J'ai un doute sur ce qui suit : si l'on parle de la médiane dans un triangle, je crois que c'est pour dire qu'alors elle coupe le triangle en deux triangles de même aire. Et je crois que ce n'est que dans ce cadre que l'on en parle.
C'est désolant, mais si la médiane n'est qu'un segment qui partage le triangle en deux triangles de même aire, c'est suffisant pour que les trois médianes d'un triangle sont concourantes.
Pour la position aux $\frac 2 3$, il faut peut-être un petit Thalès en plus.
Si j'ai bien compris, les droites remarquables d'un triangle se limitent en gros à ses trois côtés!
Le triomphe de l'analphabétisme républicain!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Mais je me suis peut-être mal exprimé : je voulais dire que si l'on définit (est-ce encore le cas ?) la médiane issue d'un sommet d'un triangle comme la droite qui passe par ledit sommet et qui coupe le côté opposé en son milieu, alors ensuite il n'est juste fait mention dans les programmes officiels du fait qu'elle partage aussi (tel un théorème) le triangle en deux triangles de même aire. Mais rien sur le concours des médiane ou le centre de gravité du triangle.
Si je comprends bien ce que tu dis, on pourrait définir la médiane issue d'un sommet d'un triangle comme la droite qui passe par ce sommet et qui partage le triangle en deux triangles de même aire. On aurait ensuite le théorème : la médiane coupe le côté opposé en son milieu.
Est-ce cela ton propos ?
Edit : C'est cela mon cher [small]p[/small]appus, tu as bien compris.
Il y a nos programmes sans ambition et à peu près vides et ce que savent réellement nos collégiens, nos lycéens et nos étudiants et quand je dis que sur le triangle, tout ce qu'ils savent, c'est l'existence de ses trois côtés, je ne dois pas être très loin de la vérité pour la plus grande majorité d'entre eux!
Amicalement
[small]p[/small]appus
En Cinquième, on apprend que $S=\dfrac {b\times h}2$, donc la médiane relie un sommet au milieu du côte opposé.
Cette seule définition suffit aussi pour démontrer que les médianes concourent.
Et même pas besoin de Thalès pour prouver aussi que le point commun est aux $\frac 2 3$de chaque médiane.
On note $a,b,c,d,e,f$ les aires des petits triangles de la figure. En utilisant que l'aire d'un triangle est égal à $\frac{1}{2}\times \mbox{base}\times\mbox{hauteur}$, on a $a=f$, $b=c$, $a+b+c=d+e+f$ et $a+b+f=c+d+e$.
Il vient $2b=b+c=d+e+f-a=d+e$, et de même $2a=d+e$, donc $a=b=c=f$.
On a ensuite $\dfrac{a+f+e}{b+c+d}=\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{e}{d}$, donc $\dfrac{2a+e}{2a+d}=\dfrac{e}{d}$.
On en tire que $d=e$, donc $DB=DC$, ce qui prouve que $D$ est le milieu de $[BC]$ et donc les trois médianes sont concourantes.
Comme $a=b=c=d=e=f$, en comparant les aires de $ABD$ et de $GBD$ on voit que $AG=\dfrac{2}{3}AD$.
Je connais deux preuves de niveau collège (d'il y a quelques années) :
- par Thalès
- par le théorème des chevrons.
Pour le lycée, un repère oblique construit sur le triangle puis des équations de droites, etc.
Avec les vecteurs ou les complexes, j'ai oublié…
A+
J'ai déjà dit ce que je pensais des démonstrations utilisant les aires dans l'enseignement secondaire.
L'existence du centre de gravité ne demande même pas l'axiome de Thalès mais seulement le théorème de la droite des milieux, ce qui n'est pas la même chose puisque soi-disant on démontre le second alors qu'on ne trouve aucune démonstration du premier!
Voici la démonstration qu'on pouvait trouver dans les anciens livres d'enseignement.
Faudrait-il croire qu'elle aussi est passée à la trappe et n'est plus enseignée?
Soit $G=BB'\cap CC'$.
On complète le parallélogramme $BGCA''$ dont les diagonales se coupent en leurs milieux c'est à dire en $A'$, milieu de $BC$, donc $GA'=A'A''$
Comme $B'G\parallel CA''$, la droite $B'G$ est une droite des milieux du triangle $ACA''$.
Donc $AG=GA''=2GA'$.
C'est sans doute trop simple pour être enseigné!
Amicalement
[small]p[/small]appus
tu es bien pessimiste, car je pense qu'ils connaissent aussi l'existence des $3$ sommets.
Amicalement. Poulbot
1) Soit $G$ le point tel que $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. Montrer que $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$ et en déduire que $A,G,D$ sont alignés.
2) Montrer que $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})$ et en déduire que $B,G,E$ sont alignés.
3) De même, montrer que $C,G,F$ sont alignés et conclure.
Je ne parlais que des droites remarquables du triangle.
Il va de soi que l'ensemble de ses points remarquables, connus de la plus grande majorité de nos étudiants, soit aussi de cardinal $3$!
Amicalement
[small]p[/small]appus
Soit ABC un triangle et D, E, F les milieux de ses côtés (cf. la figure de JLT).
L'homothétie de centre A et de rapport $1/2$ transforme ABC en AFE.
FE est donc parallèle à BC et |FE| = $\frac{1}{2}$|BC| .
De plus l'aire de AFE vaut le quart de celle de ABC.
Après deux autres homothéties, on constate que la ligne polygonale
DEFD subdivise ABCD en quatre triangles isométriques.
Soit G l'intersection de BE et CF.
L'homothétie $H$ de centre G qui transforme B en E transforme la droite BC
en une droite parallèle passant par E, càd. en la droite EF puisque EF et BC sont parallèles.
Elle transforme aussi la droite CF en elle-même puisqu'elle passe par le centre d'homothétie.
Elle transforme donc l'intersection C de BC et CF en F, intersection de EF et CF.
Comme |FE| = $\frac{1}{2}$|BC| , le rapport de $H$ vaut $-1/2$.
Donc |GE| = $\frac{1}{2}$|GB| et |GF| = $\frac{1}{2}$|GC| .
On recommence avec l'intersection G' de CF et AD.
Comme les rapports de section (CF,G) et (CF,G') valent tous les deux $-2$, on a G=G' .
Note 1 : (XY,Z) est le réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{ZX} = \lambda\overrightarrow{ZY}$
Note 2 : L'homothétie $H$ transforme les hauteurs de ABC en ses médiatrices. La droite d'Euler se pointe.
-- Schnoebelen, Philippe
lucasprimedex écrivait :
Soit le repère (A , AB , AC) avec A(0,0) , B(1,0) et C(0,1)
Dans ce repère , les coordonnées des pieds des médianes sont :
I(.5,.5) J(0,.5) et K(.5,0)
Les médianes AI , BJ et CK ont respectivement pour équation :
AI(x) = x BJ(x) = -.5x + .5 et CK(x) = -2x + 1
Intersection AI et BJ x = -.5x +.5 1.5 x = .5 x = 1/3 y = 1/3
Intersection AI et CK x = -2x +1 3 x = 1 x = 1/3 y = 1/3
Les trois médianes concourent bien en un même point de coordonnées G(1/3,1/3)
La seule chose à savoir est que l'équation d'une droite passant par deux points U et V est :
((y(V) - y(U) x / (x(V) - x(U)) + ordonnée à l'origine
Cordialement