Médianes d'un triangle

Comme le centre de gravité est le point de concours des médianes, admettre « son existence », c'est admettre la conclusion de l'exercice.

Si tu fixes un repère, c'est sans doute pour écrire les coordonnées des points et les équations des droites, non ? Quelles sont donc les coordonnées de $K$ ? de $I$ ? de $J$ ? Quelles sont les équations des médianes ? Quelle est l'intersection des deux premières ? Appartient-elle à la troisième ?

Bonsoir,
Au niveau collège, ça se démontrait avec les théorèmes des milieux et les propriétés (caractéristiques) du parallélogramme en rajoutant sur la figure le point symétrique de l'intersection de deux médianes par rapport au milieu d'un côté. Mais je ne sais pas où on en est avec les programmes actuels.


Une autre démonstration intéressante repose sur la propriété caractéristique de la médiane comme segment qui partage le triangle en deux triangles d'aires égales.

Amicalement. jacquot

Merci Dom,
C'est désolant, mais si la médiane n'est qu'un segment qui partage le triangle en deux triangles de même aire, c'est suffisant pour que les trois médianes d'un triangle sont concourantes.
Pour la position aux $\frac 2 3$, il faut peut-être un petit Thalès en plus.

Ha ! Très juste je n'avais pas pensé à cela.

Mais je me suis peut-être mal exprimé : je voulais dire que si l'on définit (est-ce encore le cas ?) la médiane issue d'un sommet d'un triangle comme la droite qui passe par ledit sommet et qui coupe le côté opposé en son milieu, alors ensuite il n'est juste fait mention dans les programmes officiels du fait qu'elle partage aussi (tel un théorème) le triangle en deux triangles de même aire. Mais rien sur le concours des médiane ou le centre de gravité du triangle.

Si je comprends bien ce que tu dis, on pourrait définir la médiane issue d'un sommet d'un triangle comme la droite qui passe par ce sommet et qui partage le triangle en deux triangles de même aire. On aurait ensuite le théorème : la médiane coupe le côté opposé en son milieu.
Est-ce cela ton propos ?

Edit : C'est cela mon cher [small]p[/small]appus, tu as bien compris.

Oui Dom,
En Cinquième, on apprend que $S=\dfrac {b\times h}2$, donc la médiane relie un sommet au milieu du côte opposé.

Cette seule définition suffit aussi pour démontrer que les médianes concourent.

Et même pas besoin de Thalès pour prouver aussi que le point commun est aux $\frac 2 3$de chaque médiane.

Bonjour,

Je connais deux preuves de niveau collège (d'il y a quelques années) :
- par Thalès
- par le théorème des chevrons.

Pour le lycée, un repère oblique construit sur le triangle puis des équations de droites, etc.

Avec les vecteurs ou les complexes, j'ai oublié…

A+

Bonjour Pappus
tu es bien pessimiste, car je pense qu'ils connaissent aussi l'existence des $3$ sommets.
Amicalement. Poulbot

Mon cher Poulbot
Je ne parlais que des droites remarquables du triangle.
Il va de soi que l'ensemble de ses points remarquables, connus de la plus grande majorité de nos étudiants, soit aussi de cardinal $3$!
Amicalement
[small]p[/small]appus

J'espère ne pas être complètement esotérique...

Soit ABC un triangle et D, E, F les milieux de ses côtés (cf. la figure de JLT).
L'homothétie de centre A et de rapport $1/2$ transforme ABC en AFE.
FE est donc parallèle à BC et |FE| = $\frac{1}{2}$|BC| .
De plus l'aire de AFE vaut le quart de celle de ABC.
Après deux autres homothéties, on constate que la ligne polygonale
DEFD subdivise ABCD en quatre triangles isométriques.

Soit G l'intersection de BE et CF.
L'homothétie $H$ de centre G qui transforme B en E transforme la droite BC
en une droite parallèle passant par E, càd. en la droite EF puisque EF et BC sont parallèles.
Elle transforme aussi la droite CF en elle-même puisqu'elle passe par le centre d'homothétie.
Elle transforme donc l'intersection C de BC et CF en F, intersection de EF et CF.

Comme |FE| = $\frac{1}{2}$|BC| , le rapport de $H$ vaut $-1/2$.
Donc |GE| = $\frac{1}{2}$|GB| et |GF| = $\frac{1}{2}$|GC| .

On recommence avec l'intersection G' de CF et AD.
Comme les rapports de section (CF,G) et (CF,G') valent tous les deux $-2$, on a G=G' .

Note 1 : (XY,Z) est le réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{ZX} = \lambda\overrightarrow{ZY}$

Note 2 : L'homothétie $H$ transforme les hauteurs de ABC en ses médiatrices. La droite d'Euler se pointe.

Bonjour ,

lucasprimedex écrivait :
Soit le repère (A , AB , AC) avec A(0,0) , B(1,0) et C(0,1)

Dans ce repère , les coordonnées des pieds des médianes sont :
I(.5,.5) J(0,.5) et K(.5,0)

Les médianes AI , BJ et CK ont respectivement pour équation :
AI(x) = x BJ(x) = -.5x + .5 et CK(x) = -2x + 1

Intersection AI et BJ x = -.5x +.5 1.5 x = .5 x = 1/3 y = 1/3
Intersection AI et CK x = -2x +1 3 x = 1 x = 1/3 y = 1/3

Les trois médianes concourent bien en un même point de coordonnées G(1/3,1/3)

La seule chose à savoir est que l'équation d'une droite passant par deux points U et V est :

((y(V) - y(U) x / (x(V) - x(U)) + ordonnée à l'origine

Cordialement