Couvrez ces points...
On joue avec les points du plan à coordonnées cartésiennes entières positives
et des cercles en contenant trois au moins, mais ne contenant aucun point à coordonnées entières non positives.
(1) Donner une famille de cercles telle que chaque point appartienne à un des cercles de la famille exactement.
(2) Idem, les rayons des cercles de la famille étant tous différents.
et des cercles en contenant trois au moins, mais ne contenant aucun point à coordonnées entières non positives.
(1) Donner une famille de cercles telle que chaque point appartienne à un des cercles de la famille exactement.
(2) Idem, les rayons des cercles de la famille étant tous différents.
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Réponses
Le cercle C de centre $(1/2, 0)$ et de rayon $\sqrt{p}/2$ passe par les points $(0, \pm k)$ et $(1, \pm k)$.
Il ne passe par aucun autre point à coordonnées entières,
car cela conduirait à une seconde décomposition de $p$ en somme de deux carrés.
On visualise C comme cercle circonscrit à un rectangle de dimensions $1\times 2k$ "aligné" sur le réseau.
S'il existe une infinité (forcément dénombrable) de nombres premiers de la forme $4k^2+1$
(c'est un problème non résolu) alors on peut résoudre mon 2e problème comme suit :
on place les cercles par ordre croissant des rayons dans les colonnes grises, aussi bas que possible,
en prenant les colonnes dans l'ordre
(0,1)
(2, 3)(0, 1)
(4, 5)(2, 3)(0, 1)
(6, 7)(4, 5)(2, 3)(0, 1)
etc.
Peut-être le dessin est utile... ?