Neuf points dans un carré

soland · September 2018

Si l'on place neuf points $p_i$ dans un carré de côté 2 alors
$$
\min |p_ip_j| \leq 1
$$

jelobreuil · September 2018

Bonjour Soland,
La figure jointe me semble montrer que ton inégalité est vraie à partir de 6 points : les quatre sommets et les deux points d'intersection de l'une des diagonales avec les quarts de cercle de rayon 1 ayant pour centres les sommets de ladite diagonale.
Comme la réunion globale, d'une part, des quatre quarts de cercle de rayon 1 ayant pour centres les quatre sommets, et d'autre part, des deux cercles de rayon 1 ayant pour centre lesdits points d'intersection, recouvre tout le carré, n'importe quel autre point du carré se trouve à une distance inférieure à 1 de l'un au mois de ces six points ...
Mais sans doute mon raisonnement est-il par trop simpliste ...
Et aussi : ai-je bien compris ta question ?
Bien cordialement 80506

L'Axone du Choix · September 2018

Bonjour Joel,
Ta construction montre qu'il existe six points dans un carré de côté $2$ tel que le min des distance est $1$. Mais pas que pour tous six points dans un carré, on a la même chose (ce qui est d'ailleurs clairement faux).
En fait en modifiant un peu ta construction on voit que $9$ est optimal puisqu'on peut trouver huit points dont le min des distances est strictement supèrieur à $1$.