Bonjour, je ne trouve pas le moyen de le démontrer :
Soit P un polygone convexe non régulier ayant 18 cotés.
En traçant les diagonales de P au moins deux de ses diagonales formeront un angle inférieur à 2 degrés
Si on remplaçait 2 degrés par 3 degrés ou 1 degré, ou bien 18 côtés par 17 côtés, ton intuition te dirait-elle quelque chose ? Si oui, je la trouve impressionnante, ton intuition.
Pour commencer, combien y a-t-il de diagonales dans un tel polygone ?
Bonsoir, Crowsen
Comment çà, 2430 ??? j'ai l'intuition que c'est une réponse au doigt mouillé ou au petit bonheur la chance ...
Cette question se raisonne, nom d'un polygone !
Dans un polygone à n côtés, combien peux-tu tracer de diagonales à partir d'un sommet particulier ?
Quant à ta question initiale, tout dépend des valeurs des angles et des longueurs de côtés de ton octadécagone, et puisqu'il n'est pas régulier, on ne peut strictement rien en dire a priori !
Bien cordialement
Désolé j'ai du faire un raisonnement bizarre ce midi.
Donc pour un polygone à 18 sommets chaque sommet peut faire une diagonale avec 15 autres sommets.
Je sais alors que la réponse sera inférieur à 270 mais il y a des diagonales qui vont être comptées plusieurs fois et je ne vois pas comment déterminer leurs nombres.
A propos du principe des tiroirs j'ai trouvé ça :
Si m objets sont placés dans n tiroirs alors au moins un des tiroirs contient plus de [m / n]> objets
Ah bon, comme çà, c'est nettement mieux comme début, et pour conclure, il te faut juste réaliser que quand tu comptes 15 diagonales pour chacun des 18 sommets, en fait tu comptes chaque diagonale seulement deux fois : la diagonale S1Sm est l'une des 15 issues de S1 et aussi l'une des 15 issues de Sm, mais n'apparaît dans aucun des autres groupes de 15.
En fait c'est une formule générale : le nombre de diagonales d'un polygone (convexe, non convexe ou même croisé) à n côtés vaut n(n-3)/2, quel que soit n. Tu peux le vérifier facilement sur les premiers polygones ...
Bien cordialement
JLB
L'étape suivante, c'est de découper l'intervalle des angles (quel est-il au fait ? attention avant de répondre...) en tranches de $2$ degrés qui sont autant de tiroirs. Si tu as plus de diagonales que de tranches, tu pourras affirmer qu'il y a au moins deux diagonales dans la même tranche.
Bonsoir Math Coss,
On pourrait peut-être en dire quelque chose si on savait quels angles considérer, mais il me semble que dans sa question initiale, Crowsen a choisi d'être le plus imprécis possible : des octadécagones convexes non réguliers, il y en a une infinité, n'est-ce pas ? et avec 135 diagonales, ça commence à chiffrer, pour le nombre d'angles, surtout si l'on considère non seulement les angles formés par les diagonales se rencontrant aux sommets, mais aussi les angles qu'elles forment à leurs intersections ... Alors comment être certain que chez tous, il y ait au moins un couple de diagonales faisant un angle inférieur à 2° ?
Je rappelle que dans un octadécagone régulier, l'angle entre deux diagonales adjacentes issues d'un même sommet, soit SiSk et SiSk+1, vaut 10° (360/18.2, théorème de l'angle inscrit). Cela laisse de la marge, non ?
Par contre, en me basant là-dessus, je dirai volontiers avec certitude que dans tout octadécagone non-régulier convexe, il y a en effet au moins 1 couple de diagonales adjacentes issues d'un même sommet faisant un angle inférieur à 10°et au moins 1 couple de diagonales adjacentes issues d'un même sommet faisant un angle supérieur à 10°, l"un compensant l'autre et vice versa ...
Bien cordialement
JLB
Math Coss
Je ne pense pas que le principe des tiroirs puisse être appliqué avec succès ici ... Car il me semble que le nombre de cas possibles est véritablement infini, et il me semble pour le moins présomptueux d'affirmer que la condition de Crowsen est remplie dans absolument tous les cas ...
Sur l'octadécagone non régulier bleu de ma figure (le marron est régulier), je ne pense pas que tu puisses trouver des diagonales qui se coupent en faisant entre elles un angle inférieur à 2°. Mais je te l'accorde, il y a en effet des couples de diagonales dont les directions sont à peu prés parallèles ... Je viens de m'en rendre compte !
Bonne nuit, bien cordialement
JLB
En effet, il n'y a pas de raison que les diagonales se coupent à l'intérieur du polygone, d'autant qu'elles pourraient même être parallèles (dans le cas d'un polygone régulier).
Bonsoir Crowsen,
En fait, d'après Wikipedia wiki angle , ce n'est pas le théorème de l'angle inscrit que j'ai appliqué, mais c'est celui de l'angle au centre, qui peut être formulé ainsi : un angle inscrit dans un cercle vaut la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc de cercle.
Application : dans un octadécagone régulier, dont les 18 sommets se trouvent régulièrement espacés sur un même cercle, l'angle au centre formé par deux rayons joignant le centre du cercle à deux sommets adjacents l'un à l'autre vaut 360°/18 = 20°, donc l'angle inscrit formé par deux diagonales joignant un sommet à deux autres sommets adjacents l'un à l'autre vaut 20°/2 = 10°. Voir la figure ci-dessous.
Mais comme tu considères un octadécagone irrégulier quelconque ...
Bonne soirée, bien cordialement
JLB
Bonsoir
Petite précision : les 135 diagonales d'un octadécagone forment 135! / (2! x 133!) = 135 x 67 = 9045 paires de diagonales, donc 9045 angles à priori différents puisque l'octadécagone est irrégulier, mais non pas indépendants car liés par des relations (somme des angles dans un triangle, par exemple), ce qui à mon avis empêche d'appliquer le principe des tiroirs, qui me semble ne considérer que des objets indépendants les uns des autres ...
Mais peut-être me trompè-je ...
Bien cordialement
JLB
Le principe des tiroirs dit : si le cardinal de $E$ est strictement plus grand que le cardinal d'un ensemble $F$, il n'existe pas d'injection de $E$ dans $F$. Traduction : pour toute application $f:E\to F$, il existe deux éléments distincts $k$ et $\ell$ de $E$ tels que $f(k)=f(\ell)$.
Voici un énoncé analogue pour un pentagone : tout pentagone (convexe ou pas, ça n'a pas d'importance) admet au moins deux diagonales qui forment un angle inférieur à 45°.
Démonstration visuelle ci-dessous. Avec des mots, voici ce que ça peut donner. Un pentagone a $5$ diagonales. On choisit un demi-cercle quelque part, disons le demi-cercle formé par les points du cercle unité formant un angle non orienté de mesure $\le90^\circ$ avec l'axe des abscisses d'un repère quelconque d'origine $O$. On coupe le demi-cercle en $4$ arcs de mesure $45^\circ$. Pour chaque diagonale, on en trace la parallèle qui passe par $O$ : elle coupe le demi-cercle en un point (unique). Comme on a quatre arcs et cinq diagonales, il y a toujours deux points dans le même arc. Les deux diagonales correspondantes forment un angle de moins de $45^\circ$.
Dans la figure, cela se produit avec deux paires de diagonales : $(CA)$ et $(CF)$ dans l'arc le plus haut, correspondant à l'intervalle $[45,90]$, et $(EB)$ et $(EA)$ dans l'arc associé à l'intervalle $[-45,0]$.
Plus formellement, on a pris pour $E$ l'ensemble des cinq diagonales, pour $F$ l'ensemble des $4$ arcs et on a associé à une diagonale $d$ l'arc auquel appartient le point d'intersection de la parallèle à $d$ passant par $O$.
Revenons au polygone à 18 côtés. Ici, on va prendre $E=\{1,2,\dots,135\}$. On appelle $D$ l'ensemble des $135$ diagonales d'un $18$-gone quelconque et on les numérote : $D=\{d_1,\dots,d_{135}\}$. Autrement dit on fixe une bijection $E\to D$, $k\mapsto d_k$.
Par ailleurs, on prend $F=\{1,\dots,90\}$ et on considère les $90$ intervalles $\left]88,90\right]$, $\left]86,88\right]$, $\left]84,86\right]$, etc. jusqu'à $\left]-88,-86\right]$ et $[-90,-88]$. Autrement dit, ce sont les intervalles $I_p=\left]90-2p,90-2(p-1)\right]$, où $p\in\{1,2,\dots,90\}$ (sauf que le dernier est fermé à gauche).
Enfin, on choisit un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Pour chaque diagonale $d$ (on considère que ce sont des droites), on considère la mesure en degrés de l'angle non orienté de droites $(\vec{\imath},d)$ : c'est un réel compris entre $-90$ et $90$. Il appartient à l'intervalle $I_p$ pour une et une seule valeur de $p\in\{1,\dots,90\}$. On pose $f(d)=p$.
Fait : $135>90$ donc $f$ n'est pas injective. Si $d$ et $d'$ sont deux diagonales telles que $f(d)=f(d')$, les angles $(\vec{\imath},d)$ et $(\vec{\imath},d')$ sont dans le même intervalle de largeur $2^\circ$ donc ils sont à distance au plus $2^\circ$. Autrement dit, l'angle $(d,d')$ formé par les diagonales est inférieur à $2^\circ$.
Merci beaucoup Math Coss, pour cette démonstration limpide et convaincante ! et pour le temps que tu as passé à la rédiger aussi complètement !
Si j'ai bien compris, la valeur limite de l'intervalle angulaire dans lequel il y a sûrement au moins un angle formé par deux des 135 diagonales d'un octadécagone est 180/(135 -1) = 1,34328358...° (environ 0,023445 radian) ?
Réponses
Pour commencer, combien y a-t-il de diagonales dans un tel polygone ?
Comment çà, 2430 ??? j'ai l'intuition que c'est une réponse au doigt mouillé ou au petit bonheur la chance ...
Cette question se raisonne, nom d'un polygone !
Dans un polygone à n côtés, combien peux-tu tracer de diagonales à partir d'un sommet particulier ?
Quant à ta question initiale, tout dépend des valeurs des angles et des longueurs de côtés de ton octadécagone, et puisqu'il n'est pas régulier, on ne peut strictement rien en dire a priori !
Bien cordialement
Donc pour un polygone à 18 sommets chaque sommet peut faire une diagonale avec 15 autres sommets.
Je sais alors que la réponse sera inférieur à 270 mais il y a des diagonales qui vont être comptées plusieurs fois et je ne vois pas comment déterminer leurs nombres.
A propos du principe des tiroirs j'ai trouvé ça :
Si m objets sont placés dans n tiroirs alors au moins un des tiroirs contient plus de [m / n]> objets
Je ne vois pas comment l'appliquer.
En fait c'est une formule générale : le nombre de diagonales d'un polygone (convexe, non convexe ou même croisé) à n côtés vaut n(n-3)/2, quel que soit n. Tu peux le vérifier facilement sur les premiers polygones ...
Bien cordialement
JLB
On pourrait peut-être en dire quelque chose si on savait quels angles considérer, mais il me semble que dans sa question initiale, Crowsen a choisi d'être le plus imprécis possible : des octadécagones convexes non réguliers, il y en a une infinité, n'est-ce pas ? et avec 135 diagonales, ça commence à chiffrer, pour le nombre d'angles, surtout si l'on considère non seulement les angles formés par les diagonales se rencontrant aux sommets, mais aussi les angles qu'elles forment à leurs intersections ... Alors comment être certain que chez tous, il y ait au moins un couple de diagonales faisant un angle inférieur à 2° ?
Je rappelle que dans un octadécagone régulier, l'angle entre deux diagonales adjacentes issues d'un même sommet, soit SiSk et SiSk+1, vaut 10° (360/18.2, théorème de l'angle inscrit). Cela laisse de la marge, non ?
Par contre, en me basant là-dessus, je dirai volontiers avec certitude que dans tout octadécagone non-régulier convexe, il y a en effet au moins 1 couple de diagonales adjacentes issues d'un même sommet faisant un angle inférieur à 10° et au moins 1 couple de diagonales adjacentes issues d'un même sommet faisant un angle supérieur à 10°, l"un compensant l'autre et vice versa ...
Bien cordialement
JLB
Je ne pense pas que le principe des tiroirs puisse être appliqué avec succès ici ... Car il me semble que le nombre de cas possibles est véritablement infini, et il me semble pour le moins présomptueux d'affirmer que la condition de Crowsen est remplie dans absolument tous les cas ...
Sur l'octadécagone non régulier bleu de ma figure (le marron est régulier), je ne pense pas que tu puisses trouver des diagonales qui se coupent en faisant entre elles un angle inférieur à 2°. Mais je te l'accorde, il y a en effet des couples de diagonales dont les directions sont à peu prés parallèles ... Je viens de m'en rendre compte !
Bonne nuit, bien cordialement
JLB
jelobreuil tu pourrais expliciter le théorème de l'angle inscrit ?
De quel manière je peux trouver un cas qui ne respecte pas le problème ?
En fait, d'après Wikipedia wiki angle , ce n'est pas le théorème de l'angle inscrit que j'ai appliqué, mais c'est celui de l'angle au centre, qui peut être formulé ainsi : un angle inscrit dans un cercle vaut la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc de cercle.
Application : dans un octadécagone régulier, dont les 18 sommets se trouvent régulièrement espacés sur un même cercle, l'angle au centre formé par deux rayons joignant le centre du cercle à deux sommets adjacents l'un à l'autre vaut 360°/18 = 20°, donc l'angle inscrit formé par deux diagonales joignant un sommet à deux autres sommets adjacents l'un à l'autre vaut 20°/2 = 10°. Voir la figure ci-dessous.
Mais comme tu considères un octadécagone irrégulier quelconque ...
Bonne soirée, bien cordialement
JLB
Petite précision : les 135 diagonales d'un octadécagone forment 135! / (2! x 133!) = 135 x 67 = 9045 paires de diagonales, donc 9045 angles à priori différents puisque l'octadécagone est irrégulier, mais non pas indépendants car liés par des relations (somme des angles dans un triangle, par exemple), ce qui à mon avis empêche d'appliquer le principe des tiroirs, qui me semble ne considérer que des objets indépendants les uns des autres ...
Mais peut-être me trompè-je ...
Bien cordialement
JLB
Le principe des tiroirs dit : si le cardinal de $E$ est strictement plus grand que le cardinal d'un ensemble $F$, il n'existe pas d'injection de $E$ dans $F$. Traduction : pour toute application $f:E\to F$, il existe deux éléments distincts $k$ et $\ell$ de $E$ tels que $f(k)=f(\ell)$.
Voici un énoncé analogue pour un pentagone : tout pentagone (convexe ou pas, ça n'a pas d'importance) admet au moins deux diagonales qui forment un angle inférieur à 45°.
Démonstration visuelle ci-dessous. Avec des mots, voici ce que ça peut donner. Un pentagone a $5$ diagonales. On choisit un demi-cercle quelque part, disons le demi-cercle formé par les points du cercle unité formant un angle non orienté de mesure $\le90^\circ$ avec l'axe des abscisses d'un repère quelconque d'origine $O$. On coupe le demi-cercle en $4$ arcs de mesure $45^\circ$. Pour chaque diagonale, on en trace la parallèle qui passe par $O$ : elle coupe le demi-cercle en un point (unique). Comme on a quatre arcs et cinq diagonales, il y a toujours deux points dans le même arc. Les deux diagonales correspondantes forment un angle de moins de $45^\circ$.
Dans la figure, cela se produit avec deux paires de diagonales : $(CA)$ et $(CF)$ dans l'arc le plus haut, correspondant à l'intervalle $[45,90]$, et $(EB)$ et $(EA)$ dans l'arc associé à l'intervalle $[-45,0]$.
Plus formellement, on a pris pour $E$ l'ensemble des cinq diagonales, pour $F$ l'ensemble des $4$ arcs et on a associé à une diagonale $d$ l'arc auquel appartient le point d'intersection de la parallèle à $d$ passant par $O$.
Revenons au polygone à 18 côtés. Ici, on va prendre $E=\{1,2,\dots,135\}$. On appelle $D$ l'ensemble des $135$ diagonales d'un $18$-gone quelconque et on les numérote : $D=\{d_1,\dots,d_{135}\}$. Autrement dit on fixe une bijection $E\to D$, $k\mapsto d_k$.
Par ailleurs, on prend $F=\{1,\dots,90\}$ et on considère les $90$ intervalles $\left]88,90\right]$, $\left]86,88\right]$, $\left]84,86\right]$, etc. jusqu'à $\left]-88,-86\right]$ et $[-90,-88]$. Autrement dit, ce sont les intervalles $I_p=\left]90-2p,90-2(p-1)\right]$, où $p\in\{1,2,\dots,90\}$ (sauf que le dernier est fermé à gauche).
Enfin, on choisit un repère $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$. Pour chaque diagonale $d$ (on considère que ce sont des droites), on considère la mesure en degrés de l'angle non orienté de droites $(\vec{\imath},d)$ : c'est un réel compris entre $-90$ et $90$. Il appartient à l'intervalle $I_p$ pour une et une seule valeur de $p\in\{1,\dots,90\}$. On pose $f(d)=p$.
Fait : $135>90$ donc $f$ n'est pas injective. Si $d$ et $d'$ sont deux diagonales telles que $f(d)=f(d')$, les angles $(\vec{\imath},d)$ et $(\vec{\imath},d')$ sont dans le même intervalle de largeur $2^\circ$ donc ils sont à distance au plus $2^\circ$. Autrement dit, l'angle $(d,d')$ formé par les diagonales est inférieur à $2^\circ$.
Si j'ai bien compris, la valeur limite de l'intervalle angulaire dans lequel il y a sûrement au moins un angle formé par deux des 135 diagonales d'un octadécagone est 180/(135 -1) = 1,34328358...° (environ 0,023445 radian) ?
Bien cordialement