Équation d'une courbe

Qu'attends tu comme format de réponse ?
Si tu attends un truc du genre $P(x,y)=0$ où $P$ est un polynôme, ou même une fonction analytique, c'est rapé.

Je ne comprends pas ton (x<>a). Que veux-tu dire ?
C'est impossible d'obtenir une équation implicite pour ta courbe de la forme $P(x,y)=0$ où $P$ est un polynôme, parce que tout polynôme qui s'annule sur ta courbe s'annulera sur la réunion des deux ellipses, ce qui te fera plein de points parasites.
Tu peux sélectionner les bons points en ajoutant des inégalités. Tu prends le polynôme $P$ qui est le produit des équations des deux ellipses
$$\left(x^2+\frac{(y-c)^2}{(1-c)^2}-1\right)\left(\frac{(x-1)^2}{(1-a)^2}+\frac{(y-c)^2}{(c-b)^2}-1\right) = 0$$
et tu ajoutes les inégalités
$$\begin{aligned}
(x-a)(y-c)&<0\\
x(x-1)&<0\;.
\end{aligned}$$
Mais plutôt que cette description, tu préfères peut-être une représentation paramétrique de ta courbe ? Ça sera en fait la mise bout à bout des deux paramétrisations des quarts d'ellipse.

Il fallait le dire dès le début ! Toujours spécifier clairement son problème, ça fait gagner du temps
Pour $0\leq x\leq a$ : $$y=c+(1-c)\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\;,$$
pour $a\leq x\leq 1$ : $$y=c-c\sqrt{1-\frac{(1-x)^2}{(1-a)^2}}\;.$$