Maximum de carrés dans un cercle

ondesx
ondesx
dans Géométrie
Bonjour à tous
Voilà, j'ai un petit problème de géométrie que je n'arrive pas à résoudre de façon satisfaisante...

La question est la suivante : comment maximiser le nombre de carrés de côté a et de surface s dans un cercle de rayon r et de surface S . Attention... selon une disposition radiale avec comme contrainte supplémentaire que le côté "minimal" a des carrés ne doit pas être inférieur à 10% du rayon r ?

Pour "simplifier" (?) la question on impose que les carrés soient sur des rayons "complets" ou "incomplets" (issus ou pas du cercle le plus au centre). En effet, en partant, par exemple, de 8 carrés sur un premier cercle le plus interne, on définit ainsi 8 rayons dénommés "complets". Mais rapidement, on constate qu'il y a de la place, en s'éloignant vers la périphérie du cercle, pour insérer d'autres carrés selon des "portions" de rayon, ceux que l'on qualifie "d'incomplets" donc.

Merci pour toute piste ou réponse exhaustive à ce problème...
Cordialement.

Réponses

  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonsoir Ondesx,
    A priori, il me semble que si l'on veut mettre le plus possible de carrés en disposition radiale dans un cercle, il est judicieux de prendre pour point de départ un schéma hexagonal, par analogie avec le problème des cercles tangents ...
    Mais je peux me tromper !
    Je vais essayer d'étudier la question.
    Bien cordialement
    JLB
  • ondesx
    ondesx
    Mille Mercis Jelobreuil pour toute info sur cette question qui me turlupine depuis des semaines !...

    J'ai effectivement initié le processus par une telle disposition ou plutôt octogonale. Mais ensuite les zones libres entre les 8 rayons "entiers" sont plus difficiles à remplir de façon systématique et homogène...

    A te lire...
    Bien à Toi
  • soland
    soland
    De WolframMathWorld :81042
  • ondesx
    ondesx
    Merci Soland mais cela ne répond pas au "cahier des charges" !... Aucune de ces dispositions n'est... radiale !...
  • soland
    soland
    Je suppose que "disposition radiale" signifie "disposition en rond", comme les quartiers de pomme dans une tarte aux pommes ?
    En attendant la surface d'un carré de côté $a$ est $a^2$
    et celle d'un cercle de rayon $r$ est $\pi r^2$.

    Ta question m'inspire le fil d'à côté. http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1724540,1724540#msg-1724540

    Bonne suite.
  • ondesx
    ondesx
    @Soland : oui radiale, c'est à dire que les carrés sont disposés le long de droites dont les prolongements passent tous par le centre du cercle de surface S. Bien entendu en raison de l'encombrement stérique des carrés sur la surface de ce cercle, au fur et à mesure que l'on remplit ces "droites" on peut moins mettre de carrés près du centre... Mais ce qui compte c'est que la "densité surfacique" reste relativement stable.

    Avec la condition sur le côté minimal a du carré de 0.1 r, a²=0.01.r², ce qui nous inciterait à penser qu'il y aurait une centaine de carrés dans ce cercle, mais la réalité n'est pas aussi simple compte-tenu de la disposition retenue...

    Le problème que tu soulèves dans l'autre fil est différent...
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