Problème de construction d'un cercle

Meka · October 2018

Bonjour,
Quelqu'un pourrait-il m'aider sur ce petit problème svp ? Je cherche une méthode de construction du cercle rouge. Ça n'a pas l'air bien compliqué mais je sèche depuis deux jours.

Merci d'avance,

pappus · October 2018

Bonbour
Le triangle $ABC$ ne joue aucun rôle direct
Seules comptent les droites $AB$ et $BC$
Il faut utiliser une parabole qu'il reste à définir et dont il faut chercher les intersections avec la droite $BC$.
Amicalement
[small]p[/small]appus 80798

Meka · October 2018

Bonjour Pappus, merci d'avoir pris le temps de répondre. Je n'aurais jamais envisagé l'utilisation d'une parabole moi-même.
Du coup aurais-tu une piste à me conseiller pour déterminer le foyer de cette parabole?

Pour la petite histoire, je suis sur Sketchup et je dois dessiner le cône qui repose sur les deux autres. Sa pointe est située sur la croix et la projection de sa base sur le plan triangulaire est circonscrite par les deux côtés isocèles.

Je pourrais le faire à l'oeil, à peu près mais avant j'aimerais être sûr qu'il n'y pas une construction rigoureuse possible.

pappus · October 2018

Bonsoir Meka
Je n'ai tracé que $8$ points sur ma figure et le foyer cherché en fait partie.
Ton second problème est posé de façon trop floue pour qu'on puisse t'aider!
Amicalement
[small]p[/small]appus

chephip · October 2018

bonsoir

il faut ... hum... on peut

ceci dit le problème est l'un des "dix problèmes d'Apollonius" à quelques virgules près

si on trace la symétrique de (BO) par rapport à (BC) le problème devient :
tracer un cercle tangent à deux droites ((BO) et sa symétrique) et un cercle donnés
qui est exactement l'un de ces "dix problèmes"
il se résout par la géométrie totalement la plus élémentaire qui soit :
si je diminue le rayon du cercle (O) et que j'augmente d'autant celui du cercle (O') ils resteront tangents sans changer de centre

donc on transforme ce problème cercle-droite-droite en le problème point-droite-droite en "décalant" les deux droites du rayon de (O) (les nouvelles droites se coupent en S)

la suite est connue : on trace un cercle quelconque tangent aux deux droites (ici de centre

et une homothétie de centre S le fait passer par O, (cercle en pointillé) le centre de ce cercle homothétique est le point O' cherché. 80812

poulbot · October 2018

Bonjour
$m$ et $m^{\prime }$ sont sur la bissectrice de $\widehat{ABO}$ :
$\dfrac{mo}{mO}=\dfrac{on}{OA}=\dfrac{Bo}{BO}$ ($BAO$ et $Bno$ sont semblables)
Amicalement. Poulbot 80818

poulbot · October 2018

Juste une remarque : on a $2$ autres solutions si la bissectrice extérieure de $\widehat{ABO}$ coupe également le cercle $\left( O\right) $.

chephip · October 2018

c'est exact que le fait que le cercle (O) soit centré sur une droite et tangent à l'autre simplifie la construction d'avantage encore que le cas général que j'ai traité ... bien vu

je n'ai pas tracé l'(les)autre(s) solution(s) 80820

Meka · October 2018

Merci, c'était tellement simple au bout du compte. J'ai regardé cette figure pendant des heures sans apercevoir que la tangence entre les cercles était sur la bissectrice.

J'ai la réponse à ma question...sauf que je me suis trompé de question. Concrètement je travaille avec des intersections entre un cône et un plan et donc C est une ellipse au bout du compte. Merci quand même en tout cas, ça soulage.

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